Почему дифференцирование под знаком интеграла называют правилом Лейбница?

Это правило действительно принадлежит Лейбницу, хотя Иоганн Бернулли осознал его более широкое значение, и с его открытием связана интересная история. Об этом говорится в главе 3 книги Энгельсмана «Семейства кривых и происхождение частичного дифференцирования» . Правило появляется в письме Лейбница 1697 года к Бернулли как побочный результат их долгой переписки по проблеме ортогональных траекторий.

Первоначально сформулированная в 1694 году, она заключалась в следующем: « Дано бесконечно много кривых по положению; найдите кривую, которая пересекает их все под прямым углом », мотивируя это тем, что световые лучи ортогональны волновым фронтам в волновой оптике Гюйгенса. Лейбниц в том же году решил проблему следующим образом: если$V(x,y,a)=0$дать семейство, то траектории можно найти, решив$V_x(x,y,a)dy-V_y(x,y,a)dx=0$. В то время у Бернулли были только алгебраические$V$в уме.

В июне 1696 года Бернулли поставил перед читателями Acta Eruditorum свою теперь уже известную проблему брагистохронии. Он смог найти ортогональные траектории к их семье, заданные формулой$y=\int_{0}^x\sqrt{\frac{x}{a-x}}\,dx$, используя его оптико-механическую аналогию, см. Предшествовала ли волновая оптика квантовой механике? В письме к Лейбницу он указал, что его общий метод, по-видимому, не работает для этого семейства или, в более общем смысле, для семейств трансцендентных кривых, заданных формулой$y=\int_{x_0}^xp(x,a)\,dx$. А потом появилось интегральное правило Лейбница.

« Великий прорыв Иоганна Бернулли в отношении трансцендентных кривых произошел в августе 1697 года и явился непосредственным следствием открытия Лейбницем ранее в том же месяце теоремы взаимозаменяемости для дифференцирования и интегрирования. Когда он получил письмо Лейбница, содержащее эту теорему, Бернулли сразу понял, что она открыл способ дифференцирования по параметру для любого типа выражения.$V_a(x,y,a)$что касается алгебраических выражений$V(x,y,a)$были обеспокоены, и теперь проблема интерпретации$\frac{\partial}{\partial a}\int_{x_0}^xp(x,a)\,dx$также было решено. "

Я не смог получить письмо Лейбница, но в Кембриджской истории науки: том 4, Наука восемнадцатого века, стр. 316 говорится, что он использовал, что дифференциал суммы бесконечно малых величин равен сумме их дифференциалов. Изучая также ортогональные траектории, Эйлер дал другое доказательство в De Infinitis Curvis Eiusdem (около 1734 г., опубликовано в 1740 г.) , применив первообразные к равенству смешанных частей.