Почему мы используем «версию» исчисления Лейбница вместо ньютоновской?

Существует множество обозначений производных, поскольку эта концепция была расширена разными способами. Например, есть также операционная D Хевисайда. Она также используется для производной Фреше и Гато (которая неявно используется в обозначениях касательных расслоений в дифференциальной геометрии).

Ньютон выбрал обозначение для простоты использования. Как физик его больше всего интересовали первые и вторые производные времени. Поскольку зависимая переменная неявно понимается, нет необходимости в обозначениях, отражающих это. Следовательно, ему нужно было только указать степень производной. Это целое число. Купить, так как нас интересуют только первые два, 1 и 2, нам не нужно указывать степень с помощью числового префикса (как это делается в некоторых обозначениях), мы можем просто указать ее с помощью одинарной или двойной точки. Это быстрее и удобнее.

Когда исчисление интересует само по себе, необходимы более подробные обозначения. При этом следует указать степень, зависимые и независимые переменные. Таким образом, обозначения Либница здесь более естественны.

Если бы Ньютон больше интересовался геометрией, чем физикой, а Либниц больше интересовался физикой, чем геометрией, вполне вероятно, мы бы увидели, как их обозначения поменялись местами. Другими словами, обозначения, связанные с их именами, отражали их интересы.

(Стоит добавить, что выполнение дифференциальной геометрии с интуиционистской логикой позволяет ввести бесконечно малые величины, которые намного ближе к тому, как их представлял Ньютон, его флюксии, а не к традиционным эпсилон-дельта методам традиционного анализа. Более того, они обобщают бесконечномерные величины. контекста без проблем, в отличие от обычного исчисления, для которого существует множество различных методов).

Многие учебники на английском языке долгое время использовали обозначения и терминологию Ньютона . Например, см. Hutton, 1807, https://archive.org/details/acoursemathemat02huttgoog , в котором используется запись через точку и такие термины, как «беглый». Мы до сих пор используем элементы ньютоновской системы обозначений во многих областях. Например, в физике, если у вас есть функция положения и времени, обычно используются точки для производных по времени и штрихи для производных по пространству.

Нотация Лейбница имеет ряд объективных преимуществ. В отличие от нотации Ньютона, она позволяет легко проводить размерный анализ и хорошо работает, когда у вас есть много различных переменных, по которым вы можете дифференцировать или интегрировать. Это работает независимо от того, хотите ли вы мыслить в терминах переменных или функций, пределов или бесконечно малых величин.

Обозначения Ньютона были представлены нечетко, и многие люди не понимали, как он намеревался их использовать. У него была запись$o$при бесконечно малом изменении независимой переменной, так что если$x$зависит от$t$, то что в обозначениях Лейбница было бы записано как$dx$будет записано в обозначениях Ньютона как$\dot{x}o$. Но у него было условное обозначение писать это как$\dot{x}$, опуская$o$когда контекст дал понять, что имелось в виду бесконечно малое изменение в$x$. Это смутило его читателей. Это обсуждается у Бойера, https://archive.org/details/TheHistoryOfTheCalculusAndItsConceptualDevelopment на с. 201.