Почему энергия частицы как в двумерном, так и в трехмерном ящике пропорциональна 1L21L2\frac{1}{L^2}?

Энергия частицы в 2D- и 3D-ящике определяется выражением

Е "=" н 2 ℏ 2 π 2 2 м л 2

где л длина квадрата/куба. я бы ожидал л 2 для 2D и л 3 для 3D. Почему это л 2 для обоих?

Ответы (2)

Для частицы в ящике размером л , л является единственной шкалой длины, поэтому энергия должна идти как ℏ 2 м л 2 размерным анализом, в любых измерениях. То же самое и в 1D.

Я смущен тем, как вы использовали термин «шкала длины»; страница Википедии для шкалы длины не делает для меня очевидным, как это интерпретировать. Вы хотите сказать, что длина обязательно одномерна? Что частица физически делает, что означает л 2 всегда применим? Извините за тупость.
Это вообще потому что н 2 учитывает количество измерений (а также уровень энергии), тогда остальная часть термина в основном является коэффициентом масштабирования?
Я имею в виду, что л — единственная длина, которой мы располагаем в задаче. Таким образом, единственная шкала энергии, которую мы можем иметь, это ℏ 2 м л 2 , так что все энергии будут в единицах ℏ 2 м л 2 , независимо от размерности.

Гамильтониан ящика невзаимодействующих электронов сепарабельен. Это значит, что

ЧАС "=" ∑ г ЧАС г

и что волновая функция основного состояния (без учета симметризации) задается как

ψ ( р ) "=" ψ 1 ( р 1 ) ψ 2 ( р 2 ) … ψ г ( р г )
.

Тогда легко показать, что энергия

ЧАС ψ "=" ( Е 1 + Е 2 … Е г ) ψ "=" Е ψ .

Таким образом, невзаимодействующая частица в N измерениях имеет тот же гамильтониан, что и N невзаимодействующих частиц в 1 измерении.

Почему энергия частицы как в двумерном, так и в трехмерном ящике пропорциональна 1L21L2\frac{1}{L^2}?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v