Вырождение энергетических уровней частицы в сферическом ступенчатом потенциале в 3D?

Радиальная часть уравнения Шредингера (после выделения угловой части) имеет вид

$$-\frac{\hbar ^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dr^{2}}\chi (r)+\frac{\hbar ^{2}}{2m}% \frac{\ell\left(\ell+1\right) }{r^{2}}\chi (r)=\left( E-V_{o}\right) \chi (r)\, ,\qquad \chi(r)=rR(r)$$ где $\Psi(r,\theta,\varphi)=R(r)Y(\theta,\varphi)$. Предполагая $E-V_o>0$, можно показать (после некоторых хитрых манипуляций), что при фиксированном угловом моменте $\ell$,
$$R_\ell(\rho)=\rho^\ell\,\xi_\ell(\rho)$$ где $\rho=kr$и $\xi_\ell(\rho)$является сферической функцией Бесселя. Это позаботится о классической области. В классически запрещенной области необходимо использовать функции Ганкеля первого и второго рода, которые преобразуют колебательные сферические функции Бесселя в (убывающие) экспоненты.

Тогда это проблема согласования, аналогичная конечной яме в 1d, за исключением того, что решения находятся в терминах сферических Бесселей и Ганкелей, а не синусов и экспонент. Таким образом, нахождение возможных энергий требует решения нетривиальных трансцендентных уравнений с участием Бесселя, Ганкеля и их производных.

Независимо от того, имеет ли яма конечную или бесконечную глубину, возможные энергии зависят от$\ell$, такие разные$\ell$производят разные$E_{n,\ell}$. Здесь,$n$нумерует решения, а также может быть связано с количеством узлов волновой функции (при фиксированном$\ell$). Таким образом, не бывает «случайных» вырождений. Вы можете найти дополнительную информацию на этой веб-странице.

Однако радиальная часть уравнения Шрёдингера не зависит от азимутального квантового числа$m$, так что все$m$допустимые значения для данного$\ell$являются дегенеративными. Если вы добавляете вращение, вы удваиваете каждое из них, поэтому определенное значение$E_{n,\ell}$является$2(2\ell+1)$раз вырождаются.

Отметим, что конечная сферическая яма используется редко из-за нетривиальности трансцендентного уравнения. Бесконечная сферическая яма (в нее входят только сферические Бессели и их нули, которые приведены в таблице) иногда используется для понимания низкоэнергетических ядерных уровней, поскольку ядерный потенциал приблизительно плоский, а затем быстро устремляется вверх.