Вырождение уровней энергии для «частицы в прямоугольном трехмерном ящике»

Не совсем. Энергии частицы в ящике с длинами сторон$L \times \alpha L \times \beta L$являются

$$E = \frac{h^2}{8 m L^2} \left( n_x^2 + \frac{n_y^2}{\alpha^2} + \frac{n_z^2}{\beta^2}\right).$$ Тогда вопрос о вырождении на самом деле является вопросом теории чисел: при каких обстоятельствах две различные тройки$(n_x, n_y, n_z)$и$(m_x, m_y, m_z)$такой, что $$n_x^2 + \frac{n_y^2}{\alpha^2} + \frac{n_z^2}{\beta^2} = m_x^2 + \frac{m_y^2}{\alpha^2} + \frac{m_z^2}{\beta^2}?$$

Это сложная проблема, и я не уверен, что на нее существует универсальный ответ. Однако мы можем отметить следующее:

• Если квадраты длин сторон коробки не являются рациональными кратными друг другу (т. е.$\alpha^2,\beta^2 \not\in \mathbb{Q}$и$\alpha^2/\beta^2 \not \in \mathbb{Q}$), то (я думаю) внятных решений быть не может. Доказательство довольно простое для двумерного ящика, и я был бы шокирован, если бы оно не переносилось на трехмерное, но я признаю, что не вижу для него простого аргумента.
• В случае, когда$\alpha = \beta = 1$, это сводится к вопросу о том, сколько существует способов записать данное целое число в виде суммы трех (ненулевых) квадратов. Некоторые обсуждения и полезные ссылки по этой теме можно найти на странице Math.SE: Определение количества способов записи числа в виде суммы трех квадратов. Кроме того, нам всегда гарантируется как минимум трехкратное вырождение любых уровней, для которых$n_x = n_y \neq n_z$, и по крайней мере шестикратное вырождение любых уровней, для которых все три$n$отличаются.

Мой вопрос заключается в том, существует ли формула (в данном случае для прямоугольного трехмерного ящика), которая устранила бы необходимость ручного подсчета?

Энергетические уровни для такой коробки задаются :

$$E_{n_x,n_y,n_z} = \dfrac{h^{2}}{8m}\left(\dfrac{n_{x}^{2}}{L_x^{2}} + \dfrac{n_{y}^{2}}{L_y^{2}} + \dfrac{n_{z}^{2}}{L_z^{2}}\right)$$

где$n_x$,$n_y$и$n_z$являются квантовыми числами.

Отсюда можно легко понять вырождение.

Прокрутите ссылку вниз для вырождения в 3D-кубе и для$L_x \neq L_y \neq L_z$.