Описание энергий с помощью странного гамильтониана

TLDR: проблема точно эквивалентна проблеме бесконечной потенциальной ямы длиной$a$.

Настройка

Сначала давайте попробуем настроить его классически, затем мы можем перейти к квантовому случаю.

Допустим, у вас есть волнистая проволока длиной$a$, а ваша частица — это некая бусинка, которая катится и движется, ограниченная этой волнистой проволокой. Провод имеет форму, заданную вектором$\vec{X}(s)$, где$s$- это некоторое число, обозначающее позиции на проводе. Для каждого$s$вы получаете вектор положения, дающий вам точку на проводе.

Чтобы написать лагранжиан, нам нужны некоторые обобщенные координаты, поэтому мы пойдем с$s$, который мы использовали для обозначения позиции на проводе. Конфигурация этой системы (частица на волнистой лапше) задается положением частицы на лапше. Если во время$t$частица находится в позиции label$s$на лапше положение частицы будет$\vec{X}(s(t))$.

Написание лагранжиана

Чтобы написать лагранжиан:$L = T - V$, нам нужно написать кинетическую энергию и потенциальную энергию. В этом нет явной потенциальной энергии (можно утверждать, что у вас есть бесконечный потенциал на концах лапши, но об этом можно позаботиться, используя граничные условия). Для кинетической энергии мы просто пишем$\frac{1}{2}m \vec{V}\cdot \vec{V}$.

$$\vec{V} = \frac{d\vec{X}}{dt} = \frac{\partial\vec{X}}{\partial s}\frac{\partial s}{\partial t} = \vec{X}' \dot{s}$$

И поэтому:

$$L = T - V = \frac{1}{2}m \vec{V}\cdot \vec{V} - 0 = \frac{1}{2}m \dot{s}^2 (\vec{X}'\cdot \vec{X}')$$

Заметить, что$(\vec{X}'\cdot \vec{X}')$просто некоторая функция$s$это зависит ТОЛЬКО от формы провода и от того, как мы его обозначили.$s$. Так что давайте просто назовем это$(\vec{X}'\cdot \vec{X}') = f(s)$на данный момент.

Нахождение сопряженного импульса

Мы знаем, что наша обобщенная координата$s$. Мы можем найти его сопряженный импульс,$P = \frac{\partial L}{\partial \dot{s}}$

Мы нашли:

$$P = \frac{\partial L}{\partial \dot{s}} = m \dot{s} (f(s))$$

Так:

$$L = \frac{1}{2}m \dot{s}^2 (f(s)) = \frac{P^2}{2 m f(s)}$$

Это ваш лагранжиан. Теперь это выглядит ужасно похоже на свободную частицу или частицу в гамильтониане, но с этим странным$f(s)$термин внизу.

Квантование этой ужасной вещи

Чтобы квантовать его, вы должны написать гамильтониан:

$$H = \frac{\hat{P}^2}{2 m f(\hat{s})}$$

и положим коммутационное соотношение$[\hat{s},\hat{P}] = i\hbar$

Данный$f(s)$для вашей кривой, как бы вы ее решить? Наверное, это было бы очень сложно.

Однако есть хитрость.

Теперь о трюке

До сих пор мы выбрали произвольный параметр для маркировки точек на нашей волнистой лапше. Но что, если мы выберем определенный способ их маркировки. Мы сейчас говорим, что$s$на самом деле это расстояние вдоль волнистой лапши от начальной точки.

Что это меняет? Смотрим условие на$\vec{X}$. Итак, если мы будем двигаться по лапше очень маленькими$\Delta s$, мы должны получить результирующий вектор смещения:$\vec{\Delta X} = \vec{X(s + \Delta s)} - \vec{X(s)} = \vec{X}'\Delta s$. Длина вектора смещения должна быть$\Delta s$, по определению$s$. Так:

$$\vec{\Delta X}\cdot\vec{\Delta X} = (\Delta s)^2$$

и

$$\vec{\Delta X}\cdot\vec{\Delta X} = (\vec{X}'\Delta s)\cdot (\vec{X}'\Delta s) = \vec{X}'\cdot\vec{X}' (\Delta s)^2$$

$$\implies \vec{X}'\cdot\vec{X}' = f(s) = 1$$

Это означает, что если мы выберем$s$быть расстоянием вдоль лапши,$f(s) = 1$.

Решить это сейчас

Следовательно, мы имеем это$L = \frac{1}{2}m \dot{s}^2$и поэтому:$P = m \dot{s}$, а также$H = \frac{P^2}{2m}$

Итак, теперь мы можем квантовать его:

$$H = \frac{\hat{P}^2}{2m}$$ $$[\hat{s},\hat{P}] = i\hbar$$

и условие, что$\psi(s) = 0$на концах вашей волнистой лапши. то есть$s = [0,a]$и$\psi(0) = 0$и$\psi(a) = 0$.

Это МАТЕМАТИЧЕСКИ ЭКВИВАЛЕНТНО задаче о частице в бесконечной яме длиной$a$.

Это же система!

Следовательно, это одни и те же системы с точно такими же энергетическими спектрами.