Почему эрмитов оператор является «квантовой случайной величиной»?

Я попытаюсь объяснить, почему и как операторы плотности в квантовой механике соответствуют случайным величинам в классической теории вероятностей, чего ни один из других ответов даже не пытался сделать.

Давайте работать в двумерном квантовом пространстве. Мы будем использовать стандартные физические обозначения скобок. Квантовое состояние — это вектор-столбец в этом пространстве, и мы будем представлять вектор-столбец как$\alpha|0\rangle + \beta |1 \rangle.$Вектор-строка$\gamma \langle 0 | + \delta \langle 1 |\,$.

Теперь вы можете подумать, что распределение вероятностей — это мера квантовых состояний. Можно так думать, но оказывается, что это слишком много информации. Например, рассмотрим два распределения вероятностей квантовых состояний. Сначала возьмем распределение вероятностей

$$\begin{array}{cc} |0\rangle & \mathrm{with\ probability\ }2/3,\\ |1\rangle & \mathrm{with\ probability\ }1/3. \end{array}$$

Далее возьмем распределение вероятностей

$$\begin{array}{cc} \sqrt{{2}/{3}}\,\left|0\right\rangle +\sqrt{1/3}\, \left|1\right\rangle & \mathrm{with\ probability\ }1/2,\\ \sqrt{{2}/{3}}\,\left|0\right\rangle -\sqrt{1/3}\, \left|1\right\rangle & \mathrm{with\ probability\ }1/2. \end{array}$$

Оказывается, эти два распределения вероятностей неразличимы. То есть любое измерение, которое вы делаете на одном, даст точно такое же распределение вероятностей результатов, что и на другом. Причина в том, что

$$\frac{2}{3} |0\rangle\langle0| +\frac{1}{3}|1\rangle\langle 1|$$ а также $$\frac{1}{2}\left(\sqrt{2/3}\left|0\right\rangle +\sqrt{1/3}\, \left|1\right\rangle\right) \left(\sqrt{2/3}\left\langle 0\right| +\sqrt{1/3}\, \left\langle 1\right|\right) +\frac{1}{2}\left(\sqrt{{2}/{3}}\left|0\right\rangle -\sqrt{1/3}\, \left|1\right\rangle\right) \left(\sqrt{2/3}\left\langle 0\right| -\sqrt{1/3}\, \left\langle 1\right|\right)$$ это одна и та же матрица.

То есть распределение вероятностей по квантовым состояниям является чрезмерно определенным распределением, и работать с ним довольно громоздко. Мы можем предсказать любой экспериментальный результат для распределения вероятностей квантовых состояний, если мы знаем соответствующий оператор плотности , и многие распределения вероятностей дают один и тот же оператор плотности. Если у нас есть плотность вероятности$\mu_v$о квантовых состояниях$v$, мы можем предсказать любой экспериментальный результат с помощью оператора плотности

$$\int v v^* d \mu_v \,.$$

Таким образом, в квантовой теории вероятностей вместо работы с вероятностными распределениями квантовых состояний мы работаем с операторами плотности.

Классические состояния соответствуют ортонормированным векторам в гильбертовом пространстве, а классические распределения вероятностей соответствуют диагональным операторам плотности.

Квантовая механика действительно является теорией вероятностей, но это некоммутативная теория вероятностей .

Так что дело не только в знаковых/сложных мерах, но и в наличии некоммутативной вероятностной структуры. Исторически квантовая механика была разработана до некоммутативных теорий вероятностей, и я думаю, что люди, занимающиеся вероятностями, смоделировали некоммутативную теорию вероятностей на основе квантовой механики, а не наоборот. Одним из математических примеров некоммутативной вероятности является свободная вероятность , введенная Войколеску (она похожа на квантовую механику, но в квантовой механике некоторые аксиомы Войколеску о свободе не нужны).

Идея некоммутативной вероятности состоит в том, чтобы расширить обычную теорию вероятностей, используя тот факт, что случайные величины обычно образуют абелеву алгебру. Таким образом, вы начинаете прямо с$C^*$или же$W^*$алгебра$\mathfrak{A}$случайных величин, возможно, некоммутативных, и ввести (некоммутативные, комплексные) меры как топологические двойственные$\mathfrak{A}'$. Интерпретация в терминах квантовой механики состоит в том, что состояния являются некоммутативными вероятностями, т. е. положительными элементами с нормой 1.$\mathfrak{A}'$, в то время как наблюдаемые обычно берутся как самосопряженные элементы , присоединенные к$\mathfrak{A}$(т.е. возможно неограниченные операторы$a$чье спектральное семейство$\bigl(P_{t}(a)\bigr)_{t\in\mathbb{R}}\subset\mathfrak{A}$). Обычные понятия вероятности распространяются, mutatis mutandis , на эту структуру; например, оценка$\mathbb{E}_\omega(a\in [0,1])$, что дает вероятность найти значение в интервале$[0,1]$для наблюдаемого$a$, в штате$\omega$, дан кем-то$\omega\bigl(P_1(a)-P_0(a)\bigr)$.

Конечно, вы можете смоделировать любой наблюдаемый квант как случайную величину.

Проблема возникает, когда у вас есть несколько наблюдаемых, которые вы можете попытаться смоделировать как классические случайные величины с некоторым совместным распределением. Из этого совместного распределения вы можете вычислить различные вероятности (например,$\textrm{Prob}(Y\neq X)$, например), в соответствии со стандартными правилами, которые вы выучили на курсах вероятностей бакалавриата.

Проблема в том, что в общем случае никакое совместное распределение не может дать вероятности, предсказываемые квантовой механикой (и наблюдаемые в лаборатории).

Например, для классических случайных величин легко доказать, что независимо от того, каково совместное распределение$X,Y$а также$Z$может быть, у вас есть

$$\textrm{Prob}(X\neq Z)\leq \textrm{Prob}(X\neq Y)+\textrm{Prob}(Y\neq Z)$$

Для квантовых наблюдаемых такие неравенства могут нарушаться. Поэтому вам нужен другой формализм.

Хотя, безусловно, верно, что квантовая теория вероятностей (КТВ) полностью отличается от классической (колмогоровской) теории вероятностей (КПВ) (особенно потому, что структура событий небулева, а структура случайных величин некоммутативна), мы все еще может выявить достаточное формальное сходство, чтобы заимствовать классическую терминологию. В частности, мы все еще можем дать удовлетворительный ответ на главный вопрос ОП, который, как я читал, звучит так:

Связана ли эта случайная величина [т.е. эрмитов оператор] каким-либо образом с моим невежественным определением [т.е. измеримой функцией]

Ответ, который мы увидим, — твердое «да». Причина, по которой это неочевидно, заключается в том, что физики не склонны выражать формализм КМ на вероятностном языке. Итак, давайте сделаем это сейчас...

Во-первых, обратите внимание, что в то время как основное измеримое пространство в CPT имеет форму$\langle\Omega,\Sigma(\Omega)\rangle$, основное измеримое пространство в QPT имеет вид$\langle\mathscr{H},\Pi(\mathscr{H})\rangle$, для некоторого сложного гильбертова пространства$\mathscr{H}$и соответствующая проекционная решетка$\Pi(\mathscr{H})$.

Во-вторых, обратите внимание, что хотя мы используем меру Колмогорова$\mu$сделать классическое вероятностное пространство$\langle\Omega,\Sigma(\Omega),\mu\rangle$, мы используем меру Глисона$\gamma$сделать квантовое вероятностное пространство$\langle\mathscr{H},\Pi(\mathscr{H}),\gamma\rangle$. (Результат, называемый теоремой Глисона, устанавливает связь между этими мерами и обычными операторами плотности.)

Но как насчет случайных величин?

Здесь нам нужно быть немного хитрым и отметить, что когда дело доходит до расчета вероятностей в CPT, парень, выполняющий всю работу, на самом деле не является измеримой функцией.$X : \Omega \to \mathbb{R}$, а обратная ей, рассматриваемая как функция множества (назовем ее$\sigma$):

$$\sigma: \mathscr{B}(\mathbb{R}) \ni \bigtriangleup \mapsto X^{-1}(\bigtriangleup) \in \Sigma(\Omega)$$

В частности, если вы хотите рассчитать вероятность$X$иметь значение в некотором подмножестве$\bigtriangleup\in\mathscr{B}(\mathbb{R})$, вы сначала возвращаете это подмножество обратно в$\Sigma(\Omega)$а затем применить$\mu$.

Другими словами, вместо работы со случайной величиной$X$, мы можем работать с его сестрой$\sigma : \mathscr{B}(\mathbb{R}) \to \Sigma(\Omega)$, который удовлетворяет аксиомам так называемой меры с заданными значениями (SVM).

Что особенного в этой альтернативной формулировке классической случайной величины?

Эта формулировка имеет прекрасную аналогию в квантовой механике; а именно, показатель прогнозируемого значения (PVM), который представляет собой карту$\pi : \mathscr{B}(\mathbb{R}) \to \Pi(\mathscr{H})$, удовлетворяющие некоторым простым аксиомам, аналогичным свойствам SVM (например, непересекающиеся борелевские множества отображаются в ортогональные проекторы).

Но теперь мы можем использовать спектральную теорему функционального анализа для построения эквивалентного самосопряженного оператора$A : \mathscr{H} \to \mathscr{H}$для этого ПВМ. Это самосопряженный оператор$A$это оказывается более удобным с вычислительной точки зрения для расчета статистики, чем лежащий в основе PVM, который легче интерпретировать как случайную величину.

Я упустил несколько деталей, которые вы можете легко найти в любой хорошей книге по функциональному анализу, но главный вывод заключается в следующем. Вы можете выразить версию КМ, традиционно изучаемую на курсах физики, в более теоретико-мерной одежде, и когда вы это сделаете, будет самым естественным думать об операторе плотности как о вероятностной мере, а о самосопряженном операторе как о мере вероятности. случайная величина.

(Кстати, ваше предположение о том, что КМ имеет дело с отрицательными вероятностями, неверно. Измерения Глисона. Этот алгоритм позволяет генерировать все обычные вероятности от 0 до 1 включительно, которые используются для предсказания относительных частот экспериментальных результатов в соответствии со стандартным правилом Борна. )

Я считаю ошибочным думать, что классическая вероятность имеет больше смысла, чем квантовая механика с ее «особыми» расчетами вероятности.

Я собираюсь быть немного озорным и сделать дружескую атаку на ваш первый абзац: действительно ли он имеет смысл?

Конечно, это имеет смысл как теоретико-мерное определение , но откуда вы знаете, что оно представляет вероятности случайных событий реального мира? Что вообще означает «вероятность»? Вы придерживаетесь частотной или субъективистской точки зрения в придании значения слову ? Я действительно думаю, что мы «понимаем» классическую вероятность только в той мере, в какой мы просто привыкли к ней.

Я полагаю, что смысл первого абзаца принадлежит прежде всего Колмогорову. Его великий вклад заключался в том, что он понял, что теория меры дает нам способ строгого, теоретического определения событий и показывает, что вычисление «вероятностей» с помощью их меры дает нам математическую систему, которая воспроизводит интуитивные представления Паскаля, Лапласа и других о вероятности.

Здесь можно посмотреть на Колмогорова как на физика: он постулирует , что события не будут представлены такими вещами, как множества Витали, и что интуиция Паскаля, в соответствии с законом исключенного третьего, разумна.

Но появляются физики-экспериментаторы и экспериментально показывают, что эта структура не моделирует все ситуации в мире экспериментальной физики. В частности, может быть нарушено неравенство Белла , которое является неравенством Фреше . Есть предложения, которые нельзя классически соединить оператором «и»:$X$имеет импульс$p$А ТАКЖЕ$X$имеет положение$x$не имеет значения в Природе.$\sigma$- а булевы алгебры просто не могут описывать системы реального мира, и это экспериментальный факт. См . ответ Вальтера Моретти на вопрос Physics SE «Классическая логика в связи с QM Mathematics» .

Квантовые наблюдаемые имеют смысл, потому что они предсказывают экспериментально измеренные результаты, тогда как классическая вероятность этого не делает. Последнее экспериментально фальсифицировано.

Квантовая система может быть описана набором развивающихся квантово-механических наблюдаемых. Это не то же самое, что описывать систему в терминах стохастической величины, описываемой одним случайно выбранным числом. Квантовая система действительно имеет несколько значений любой нечеткой наблюдаемой, см.

https://arxiv.org/abs/quant-ph/0104033 .

Эти различные версии системы могут влиять на результаты экспериментов, таких как эксперименты с интерференцией и эксперименты с ЭПР.

В интерференционном эксперименте величины, используемые для предсказания вероятностей результатов измерений, не подчиняются правилам вероятности, как отмечено в некоторых ответах выше. Это результат развития нескольких версий системы, а затем их рекомбинации для получения результата.

В экспериментах ЭПР измеряется каждая система, и существует несколько версий каждого результата измерения. В результате корреляции между результатами измерений могут быть установлены при их сравнении, а не при каждом отдельном измерении, см.

https://arxiv.org/abs/quant-ph/9906007

https://arxiv.org/abs/1109.6223 .

Возможно, вас заинтересует другая интерпретация эрмитовых матриц. В недавней статье мы предложили рассматривать их как азартные игры в рамках квантового эксперимента. Затем мы навязали рациональное поведение в отношении того, как субъект принимает/отклоняет эти игры, введя несколько простых правил.

Эти правила дают в классическом случае байесовскую теорию вероятностей через теоремы двойственности.

В квантовой постановке они дают байесовскую теорию, обобщенную на пространство эрмитовых матриц. Эта теория — квантовая механика: фактически все ее четыре постулата мы вывели из обобщенной байесовской теории. Это также приводит нас к переосмыслению основных операций квантовой механики как вероятностных правил: правило Байеса (измерение), маргинализация (частичное отслеживание), независимость (тензорное произведение).

Короче говоря, мы получили, что квантовая механика — это байесовская теория комплексных чисел.

http://arxiv.org/abs/1605.08177