Аластер Рэй утверждает, что в его тексте по этому вопросу есть 4 постулата квантовой механики. Первую часть его второго постулата можно сформулировать так:
Каждая динамическая переменная может быть представлена эрмитовым оператором, собственные значения которого представляют собой результат выполнения измерения значения динамической переменной...
Мой вопрос таков: насколько много мы можем сделать из того, что некоторые операторы, используемые в квантовой механике, являются эрмитовыми?
Когда я использую слово «эрмитовость», я имею в виду свойство, которое куда является оператором и является примыкающим к . Означает ли автоматически эрмитовость оператора, что будут существовать собственные функции и собственные значения, соответствующие этому оператору? Означает ли эрмитовость, что если существуют собственные функции, соответствующие этому оператору, они будут образовывать полное и ортонормированное множество? Что любую волновую функцию можно разложить по этим собственным функциям? Сколько всего скрыто в слове «эрмит»?
В термине отшельника скрыто довольно много очень важной информации.
Для оператора на конечномерном гильбертовом пространстве можно показать, что существует ортонормированный базис гильбертова пространства, состоящий из собственных векторов оператора . Более того, можно показать, что все собственные значения, соответствующие этим собственным векторам, действительны. Этот результат является конечномерной спектральной теоремой . Тот факт, что собственные значения эрмитовых операторов реальны, имеет решающее значение в квантовой механике, поскольку предполагается, что собственные значения наблюдаемых представляют вещественные, физически измеримые величины.
Когда гильбертово пространство бесконечномерно, то аналогичный результат, также называемый спектральной теоремой, труднее доказать, и приходится делать больше технических предположений из-за проблем, возникающих в отношении областей определения операторов и так называемых неограниченные операторы и т. д. В частности, необходимо понятие самосопряженного оператора, который является бесконечномерным расширением эрмитова и сводится к эрмитову в конечномерном случае. Я бы посоветовал вам посмотреть вики-статью о спектральной теореме, на которую я дал ссылку, для получения дополнительной информации.
Кроме того, к вашему сведению, раздел математики, изучающий бесконечномерный случай, называется функциональным анализом .
Эмилио Писанти