Почему эти независимые циклы?

Теперь определение независимого цикла — это цикл, содержащий ветвь, не являющуюся частью какого-либо другого независимого цикла.

Если у цикла есть ветвь, которая не является частью какого-либо другого цикла, это гарантирует независимость, но я не думаю, что это необходимо. (Математически этого достаточно , но не обязательно .)

При анализе сетки вы пытаетесь решить систему уравнений. Для этого вам нужно по одному уравнению на переменную. Но уравнения должны быть линейно независимыми — если вы можете составить одно уравнение, складывая, вычитая и/или умножая другие уравнения, оно не считается. Например:

Второе уравнение можно получить, удвоив каждое значение в первом уравнении. Это не дает вам никакой новой информации, поэтому вы не можете найти x и y. Но в этом примере:

вы не можете получить второе уравнение, манипулируя первым. Таким образом, вы можете найти решение: x = 3 и y = 2.

Вернемся к схемам. Ваша система имеет три переменные — токи сетки$I_L$(слева),$I_M$(посередине) и$I_R$(справа). Вот уравнения, предполагающие, что токи сетки текут по часовой стрелке:

Группировка переменных дает:

Мы никак не можем сделать одно из этих уравнений из другого. У первого есть постоянный член, у второго нет, а третий просто дает нам значение одной переменной. Если мы заменим$-2\mathrm A$для$I_R$и попробуйте сделать так, чтобы знаки совпадали, это еще более очевидно:

Соотношения коэффициентов и констант совершенно другие. Эти уравнения линейно независимы.

Я преподаю схемы и использую тот же учебник, из которого взят рисунок. Мои ученики спрашивали меня об этом, и мне потребовалось некоторое время, чтобы придумать звуковое определение. Утверждение из текста «независимый цикл — это цикл, содержащий ветвь, которая не является частью какого-либо другого независимого цикла» неоднозначно и, как было сказано ранее, необходимо, но недостаточно. Если вы строго придерживаетесь этого определения, вы правы в том, что вы можете сформировать левую петлю IL (abca), которая оставляет резистор 3 Ом и источник 2A. Затем вы можете сформировать правую петлю IR, которая начинается с b, проходит через источник 2A к c, а затем обратно к b через резистор 3 Ом. На данный момент больше нет уникальных ветвей, но вы не нашли все независимые циклы.

К этому определению необходимо добавить следующее: «Можно ли расширить какие-либо узлы, создав уникальную ветвь, не нарушая никаких независимых циклов? Если создается уникальная ветвь, не нарушая независимый цикл, то должен быть сформирован новый цикл, содержащий эту уникальную ветвь».

Если вы расширите узел a до двух точек (a, d), вы разорвете левую петлю IL. Поэтому уникальная ветвь, созданная между точками a и d, должна стать частью петли IL, чтобы IL можно было закрыть. Независимая петля не добавляется. Если вы расширите узел b до двух точек (b, e), то ни левая петля IL, ни правая петля IR не будут разорваны. Это создает новую ветвь между точками b и e, которая должна быть частью нового независимого контура IM. Если вы затем расширите узел c в (c,f), вы создадите новую ветвь, но разорвете цикл IM, поэтому новая ветвь должна стать частью IM, чтобы закрыть этот цикл. Если вы продолжаете расширять какие-либо узлы, новые уникальные ветви не образуются, и у вас остаются 3 независимых цикла: IL, IM и IR.

Независимый цикл содержит по крайней мере одну ветвь, не принадлежащую другому циклу. Итак, используя ваши две петли, ABC и BC в качестве примеров: ABC содержит ветвь 10 В / 5 Ом, которой нет в BC. BC содержит 3 Ом, которых нет в ABC, поэтому они независимы. Кроме того, ABC через 2A/5ohm/10V содержит источник 2A, который не входит ни в один из первых двух контуров, так что он тоже независим. Это не единственная возможная комбинация трех независимых контуров, необходимая для решения задачи.

В этом учебнике параграф под ним гласит, что «Возможно сформировать независимый набор петель, где одна из петель не содержит такой ветви».

Итак, определение, данное выше, было лишь достаточным условием.

Я думаю, вы можете объявить набор циклов независимым, если любые два цикла набора рассматриваются, есть хотя бы одна ветвь, не общая для обоих.