Почему гравитация движется со скоростью света?

Да, ОТО предсказывает световое распространение гравитационных волн, что к настоящему времени подтверждено в LIGO. Линеаризованная гравитация является адекватным приближением к общей теории относительности: метрика пространства-времени,$g_{ab}$, можно рассматривать как незначительно отклоняющийся от плоской метрики,$\eta_{ab}$,

$$\begin{equation} g_{ab} = \eta_{ab} + h_{ab},\qquad ||h_{ab}|| \ll 1\;. \end{equation}$$ Результирующий тензор Эйнштейна тогда равен $$G_{ab} = R_{ab} - \frac{1}{2}\eta_{ab} R \\ = \frac{1}{2}\left(\partial_c\partial_b {h^c}_a + \partial^c \partial_a h_{bc} - \Box h_{ab} - \partial_a\partial_b h -\eta_{ab}\partial_c\partial^d {h^c}_d + \eta_{ab} \Box h\right)\;.$$

В терминах возмущения , обращенного по следу$\bar h_{ab} = h_{ab} - \frac{1}{2}\eta_{ab} h$, это сводится к

$$G_{ab} = \frac{1}{2}\left(\partial_c\partial_b {{\bar h}^c}_{\ a} + \partial^c \partial_a \bar h_{bc} - \Box \bar h_{ab} -\eta_{ab} \partial_c\partial^d {{\bar h}^c}_{\ d}\right)\;.$$

В калибровке Лоренца это может быть дополнительно сокращено до

$$G_{ab} = -\frac{1}{2}\Box \bar h_{ab}\;,$$ релятивистское волновое уравнение в вакууме, где G _ab обращается в нуль, $$\left (\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2\right ) \bar h_{ab}=0\;.$$

Итак, это возмущение (гравитационная волна) распространяется со скоростью света. При квантовании легко увидеть, что его квантовое возбуждение, гравитон, безмассово и тоже движется со скоростью света, как и все безмассовые частицы .

Обратите внимание, что масштаб гравитации, постоянная Ньютона G или, что то же самое, планковская масса входят только в связь этой волны или частицы с веществом (и энергией), а не в ее свободное распространение в пространстве в этом режиме слабого поля, поэтому это разъединяет здесь.

Я хотел бы добавить к ответу Космаса Захоса ; но сначала можно найти гораздо больше подробностей о выводе волнового уравнения для гравитационных волн слабого поля, как это дано в резюме Космы в главе 9 «Гравитационное излучение» книги «Первый курс общей теории относительности» Берхарда Шутца.

Ответ Космы правильный, но я хотел бы отметить, что есть смысл в том, что ОТО с самого начала строится так, чтобы скорость распространения гравитационных волн составляла$c$, и можно также думать об уравнениях Максвелла таким же образом. То есть скорости распространения их волн в равной степени проистекают из мыслей и постулатов, созданных специальной теорией относительности (или, по крайней мере, можно сделать этот теоретический постулат и, пока что, засвидетельствовать экспериментальные результаты, согласующиеся с ним).

Причина, по которой анализ слабого поля в ответе Космы / Шюца, глава 9, дает даламбериану со скоростью волны$c$заключается в том, что с самого начала общая теория относительности постулируется кодируемой как уравнения поля, ограничивающие часть тензора Риччи ( то есть часть, кодирующую изменение объема ) тензора кривизны в локально лоренцевом многообразии. Ключевым моментом здесь является «локально лоренцевский» момент: для каждого наблюдателя существует мгновенно движущаяся вместе с ним инерциальная система отсчета, в которой метрика положения наблюдателя в пространстве-времени точно равна$\mathrm{d} \tau^2 = c^2\,\mathrm{d} t^2 - \mathrm{d}x^2-\mathrm{d}y^2-\mathrm{d}z^2$когда мы используем ортонормированный базис для касательного пространства в точке в нормальных координатах Римана. Конечно, не каждая теория, которая имеет место на локально лоренцевом многообразии, должна давать волновое уравнение, но вакуумные уравнения слабого поля Эйнштейна имеют структуру, которая дает это уравнение, как в ответе Космы . Тот факт, что константа в этом уравнении равна$c$сразу же прислушивается к локальному лоренцевскому характеру сцены (многообразия) нашего теоретического описания.

Точно так же можно думать об уравнениях Максвелла, и есть несколько способов сделать это. Но как только вы постулируете, что уравнения Максвелла являются лоренцево-ковариантными, тогда константа в возникающем из них волновом уравнении должна быть$c$. Можно начать с закона силы Лоренца и постулировать, что линейное отображение$v^\mu \mapsto q\,F^\mu_\nu\,v^\nu$что дает четыре силы из четырех скоростей заряженной частицы, на которую действует электромагнитное поле$F$является смешанным тензором. Теперь возьмем закон Гаусса для магнетизма.$\nabla\cdot B=0$и постулируем, что это верно для всех инерциальных наблюдателей. Из этого постулата следует$\mathrm{d} F=0$если$F$действительно преобразуется как тензор. Сделайте то же самое для закона Гаусса для электричества.$\nabla\cdot E=0$в свободном пространстве и получить$\mathrm{d} \star F = 0$. Из этих двух уравнений и леммы Пуанкаре получаем$\mathrm{d}\star \mathrm{d} A=0$, которое содержит уравнение Даламбера (с одной формой$A$существующий такой, что$\mathrm{d} A=F$, где развернута лемма Пуанкаре). И, исходя из изначально постулированной ковариации Лоренца, скорость волны в этом уравнении Даламбера должна быть$c$.

Таким образом, тот факт, что скорость волны одинакова для обеих теорий, возникает из-за того, что у них есть общая теория «источника», а именно специальная теория относительности в качестве отправной точки, откуда они исходят.

---

ОП, вероятно, уже понял это, но ради других читателей на самом деле существует только одна электромагнитная постоянная, как и только одна гравитационная постоянная.$G$. Текущие единицы СИ определяют точные значения скорости света .$c$, постоянная Планка$\hbar$, а единичный электрический заряд$e$; электрические и магнитные постоянные$\epsilon_0$а также$\mu_0$связаны с экспериментально измеренной постоянной тонкой структуры ,$\alpha = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{\hbar c} = \frac{e^2}{4\pi} \frac{\mu_0 c}{\hbar}$. Как и в ответ Космы ,$\epsilon_0$не входит в волновое уравнение так же, как$G$не входит в гравитационно-волновое уравнение Даламбера, и$\epsilon_0$(или эквивалентно$\mu_0$или же$\alpha$) имеет прямое отношение только тогда, когда уравнения Максвелла описывают связь векторов поля с зарядом.