Скорость гравитации в космологических кодах и генерации эфемерид

Заманчиво думать о гравитации как о каком-то взаимодействии между двумя вовлеченными телами — может быть, это какая-то форма сигнала (гравитационная волна?), посылаемая между двумя телами. Если бы это было так, то вам действительно пришлось бы допустить задержку распространения, поскольку сигналы передавались между двумя телами. Однако это не то, как работает гравитация.

Массивный объект искривляет пространство-время вблизи себя. Например, Земля создает искривление пространства-времени (приблизительно), описываемое метрикой Шварцшильда. Другой объект, движущийся рядом с Землей, не взаимодействует с Землей — он взаимодействует с искривлением пространства-времени, вызванным Землей. Кроме того, это взаимодействие является локальным, то есть наш тестовый объект взаимодействует с искривлением пространства-времени в своем местоположении и, следовательно, с нулевой задержкой.

Изменения кривизны действительно распространяются со скоростью света, но как только кривизна установлена, нет задержки для объектов, взаимодействующих с этой кривизной.

Это немедленно отвечает на ваши вопросы 2 и 3 (я вернусь к 1). Планеты, астероиды и все, что движется в Солнечной системе, движется по прямой линии в искривленном пространстве-времени в своем положении. Искривление пространства-времени деформирует прямую линию в эллиптические орбиты, по которым следуют планеты. Планетам не нужно знать, что Солнце есть — если бы можно было найти какие-то гипотетические альтернативные средства для создания такой же искривления пространства-времени в месте расположения планет, они бы двигались точно так же. Нам не нужно беспокоиться о задержках взаимодействия планет с Солнцем, потому что они не взаимодействуют с Солнцем. Они просто взаимодействуют со своей локальной кривизной пространства-времени.

Это также касается вашего беспокойства по поводу того, как гравитация выходит из черной дыры. Ваш вопрос говорит:

Масса черной дыры находится под горизонтом событий, и все же ей удается обновить свое внешнее гравитационное поле

но не обновляет внешнее гравитационное поле. Солнце искривляет пространство-время вокруг нас, и (при условии сферической симметрии, что является хорошим предположением для Солнечной системы) эта кривизна не зависит от размера Солнца или его плотности, а зависит только от его массы. Если бы Солнце внезапно превратилось в черную дыру, кривизна пространства-времени вокруг нас не пострадала бы, и Земля продолжала бы двигаться по орбите так же, как сейчас. Вам не нужно беспокоиться о том, как гравитация уйдет из черной дыры, потому что это не обязательно. Земля просто движется в соответствии со своим локальным искривлением пространства-времени, и она не знает и не заботится о том, что происходит внутри горизонта событий.

Наконец, вернемся к вашему первому вопросу. Если ваша система очень велика, вам потребуется полная общая теория относительности для ее описания. Например, чтобы описать всю Вселенную, вы решаете уравнения Эйнштейна с несколькими предположениями о распределении материи и получаете метрику FLRW. Затем это говорит вам о таких вещах, как скорость расширения.

Однако для небольших систем изменения общей кривизны пространства-времени относительно медленны и предсказуемы, и вы можете хорошо описать движение, не беспокоясь о скорости распространения этих изменений. Например, мы часто предполагаем высокий уровень симметрии (как в метрике FLRW), поэтому одни и те же изменения происходят везде с одинаковой скоростью и отсутствуют задержки распространения.

Я не думаю, что смогу строго доказать, что симуляционным машинам не нужно беспокоиться о (возможно? Я не знаю, есть ли надежное измерение) конечной скорости гравитации, но я могу предложить некоторые направления мысли, которые указывают на это. это направление.

Я начну с вашего вопроса 3. Предположим, что гравитация имеет конечную скорость, равную$c$. Ваш вопрос, кажется, задан с несколько ньютоновской точки зрения, но, глядя на него с учетом GR, он выглядит намного лучше. В ОТО масса вызывает деформацию пространства-времени. Если гравитация имеет скорость$c$, на самом деле мы говорим, что изменения деформации распространяются со скоростью$c$. С точки зрения искривления пространства-времени в горизонте событий черной дыры нет ничего особенного, все ведет себя хорошо, пока вы не доберетесь до сингулярности. Горизонт событий становится актуальным только тогда, когда вы начинаете говорить о том, как другие частицы распространяются в искривленном пространстве-времени. Попробуйте заменить в своем мышлении «гравитационное поле» на «искривленное пространство-время» и посмотрите, станете ли вы счастливее. Между прочим, я не знаю, согласуется ли это с гипотетической частицей гравитона. Может быть, это часть сложности формулировки квантовой теории гравитации?

Теперь о вашем вопросе 1. Я думаю, что ответом является некое сочетание свойства однородности Вселенной в больших масштабах и теоремы о оболочках. Давайте посмотрим на «пробную частицу» рядом с протяженным сферически-симметричным самогравитирующим распределением массы. Предположим, что оба были на месте в течение по крайней мере времени$D/c$, куда$D$— расстояние до самой дальней части распределения массы (оказывается, что «горизонты» в смысле сферы влияния частицы в итоге не проблематичны, об этом позже). Итак, пробная частица «знает» о распределении масс. Теперь давайте проведем упражнение по вычислению ускорения частицы с конечной скоростью гравитации и гравитацией с бесконечной скоростью.

Бесконечная скорость гравитации:

Распределение массы сферически симметрично, поэтому по теореме об оболочке любая частица вне ее испытывает силу, эквивалентную силе, действующей на точечную массу с той же полной массой, расположенную в центре распределения. Что ж, это было легко.

Гравитация с конечной скоростью:

Ну а пока общая масса распределения не меняется, и оно остается сферически-симметричным, и его центр не перемещается, и оно не расширяется настолько, что пробная частица оказывается внутри него, оно просто держится. ведет себя как точечная масса в своем центре все время. Таким образом, не имеет значения, насколько быстро распространяется сигнал, ускорение, вычисленное для любого времени, будет действительным для всех времен. Но есть довольно много предположений, которые должны быть действительными, прежде чем это можно будет использовать. Давайте посмотрим на каждый из них.

• Общая масса распределения не меняется. Что ж, предположение об отсутствии массовых источников или поглотителей кажется разумным. Есть и другой способ, которым масса может «измениться», но он рассматривается в одном из следующих пунктов, так что я перейду к нему через минуту.
• Распределение остается сферически-симметричным. Об этом многого стоит просить, тем более что асимметрия усиливается при гравитационном коллапсе. Но в достаточно больших масштабах Вселенная считается однородной, а однородность подразумевает сферическую симметрию (для любого произвольного сферического подобъема однородного распределения). Таким образом, нам, возможно, придется беспокоиться о небольших масштабах, но в больших масштабах все в порядке. Подробнее об этом позже.
• Центр не двигается. Опять же, однородность спасает нас в больших масштабах. Распределение массы является однородным (и остается таким), поэтому по определению, если одна часть массы удаляется, другая перемещается, чтобы занять ее место.
• Пробная частица не попадает внутрь распределения массы. Ясно, что пробная частица во Вселенной находится внутри распределения массы Вселенной. Но если не обращать внимания на непосредственную близость частицы (то есть, все еще думая о крупномасштабных взаимодействиях), то это безопасно.

Итак, похоже, что все работает для больших масштабов. Итак, что нам нужно сделать в симуляции, чтобы справиться с этим? Как указывает Джон Ренни в своем ответе, мы используем показатель FLRW. Применение этого означает, что нам просто нужно знать несколько параметров (плотность или плотность энергии в различных компонентах, например материи, излучении,$\Lambda$). Это дает глобальную кривизну пространства-времени. Поскольку кривизна везде одинакова в данный момент времени, не имеет значения, как быстро она распространяется. Кривизна зависит от времени, но ее эволюцию во времени можно рассчитать независимо от деталей распределения масс, при условии сохранения однородности в больших масштабах (как вы понимаете, если Вселенная неоднородна в больших масштабах, у симуляторов БОЛЬШИЕ проблемы). ). В механизме моделирования, таком как Gadget-2, многие сложности вычислений в расширяющейся метрике устраняются путем преобразования в «сопутствующие координаты». Это не влияет на решение, просто упрощает вычисления. Физическое решение можно восстановить, выполнив обратное преобразование обратно к «правильным координатам».

Хорошо, а как насчет локально, где все становится неоднородным? Оказывается, нам все еще не нужно беспокоиться о скорости гравитации, основываясь на небольшом анализе ошибок. Рассмотрим пару смоделированных частиц. Отношение ускорения, которое испытывает одна из частиц, если гравитация имеет бесконечную скорость, к ускорению, которое она испытала бы, если бы была конечная скорость (учитывая только величину):

$$\frac{a_{inf}}{a_{fin}} = \frac{r(t-\Delta t)^2}{r(t)^2}$$ куда: $$\Delta t = \frac{r(t-\Delta t)}{c}$$ и $c$есть скорость гравитации. Другими словами, ускорение, вызванное другой частицей, где она теперь сравнивается с ускорением, вызванным другой частицей, где она была, когда был испущен ее «гравитационный сигнал». На первый заказ в $\Delta t$, положение, где частица была и где она находится, связаны соотношением: $$r(t-\Delta t) = r(t)-v(t-\Delta t)\Delta t$$ Сложив все это вместе, мы получим: $$\frac{a_{inf}}{a_{fin}} = \left(1+\frac{v(t-\Delta t)}{c}\right)^{-2}$$ Так что, пока частицы не движутся релятивистски (по отношению к скорости свободного падения, которая может отличаться от скорости света), возникающая ошибка весьма мала (то есть весьма мала по сравнению с некоторыми другими ошибками, которые попадаются при расчете). На самом деле, все даже лучше, чем это. При рассмотрении всей симуляции вам придется беспокоиться не столько об отдельных релятивистских частицах, сколько о релятивистских изменениях в распределении материи. И оказывается, трудно придумать механизмы, которые могли бы вызвать такие быстрые изменения в масштабах, значимых для космологии. Поскольку в основном единственным механизмом, с которым можно работать, является гравитация, вам потребуются релятивистски изменяющиеся распределения масс, чтобы управлять релятивистскими изменениями других массовых распределений. Так как есть'

Наконец, несколько слов о горизонтах. Времена (масштабные коэффициенты/красные смещения), исследуемые типичными космологическими симуляциями, достаточно поздние, чтобы масштаб горизонта был достаточно большим, чтобы внутри него сохранялась однородность. Это означает, что горизонты не имеют большого значения, поскольку, в хорошем приближении, любая дополнительная сила от некоторой массы, входящей в горизонт наблюдателя в одной точке, будет компенсирована таким же количеством массы, входящей диаметрально через горизонт. В потенциале нет внезапных изменений, о чем мы бы беспокоились, если бы скорость гравитации была конечной.