Почему и когда Землю можно считать инерциальной системой отсчета?

Если вам нужно бросить мяч по полю, то поправки на вращение составляют примерно 0,0001g ускорения. Достаточно маленький, чтобы его можно было игнорировать в течение 3 секунд, пока мяч находится в воздухе.

Если вы запускаете снаряд в другое состояние, то это кажущееся ускорение будет составлять многометровое отклонение от прогнозов при использовании инерциальной системы отсчета для расчетов.

Большинство событий человеческого масштаба не имеют достаточного расстояния или скорости, чтобы ошибка в предположении об инерциальной системе отсчета стала очевидной. Таким образом, дополнительная сложность расчета изменений, вызванных движением Земли, не требуется. Точно так же, как во многих лабораторных экспериментах мы могли бы игнорировать сопротивление воздуха и неоднородность гравитационного поля.

Жесткого правила на этот счет нет. Вы просто выбираете самую простую модель, достаточную для ваших целей. Хотите трубу, которая отводит воду с крыши 10-метрового здания на землю? Вероятно, можно игнорировать вращение земли для того, как развивается давление в трубе. Нужно смоделировать, как воздух циркулирует вокруг планеты? Вы не можете использовать этот ярлык.

не означает ли это, что ускорения, вызванные любым движением, в которое вовлечена Земля, намного меньше ускорений, с которыми мы сталкиваемся в повседневной жизни? Это случайность или результат каких-то свойств Вселенной?

Ускорения, вызванные движением земли, меньше, чем ускорения, которые вы замечаете в повседневной жизни. Это не случайность, просто Земля вращается довольно медленно по человеческим меркам.

Возьми карусель, подключи к ней двигатель, чтобы она вращалась каждые 24 часа. Встаньте на него, и вы не сможете сказать, что происходит. Ускорения из-за земной орбиты и из-за галактического вращения занимают еще больше времени и будут еще меньше.

Поправки Кориолиса пропорциональны скорости вращения системы отсчета ($\omega$). Один оборот в день - это не очень много.

Следует различать два типа движений, в которые вовлечена Земля:

1. Вращение вокруг собственной оси
2. Движение Земли как целого вокруг Солнца, центра Галактики и т.д.

На самом деле ОП неоднозначен в том, означает ли он систему отсчета, связанную с поверхностью Земли или с ее центром - в последнем случае нас интересует только второй тип движения.

Свободное падение
Движение Земли в целом представляет собой свободное падение в гравитационном поле. Принцип эквивалентности общей теории относительности гласит, что в этом случае систему отсчета можно считать инерциальной, поскольку все объекты в ней испытывают одинаковые ускорения свободного падения, и могут быть обнаружены только их относительные ускорения.

Вращение Земли
Система отсчета, привязанная к поверхности Земли, неинерциальна, и необходимо ввести фиктивные силы: центробежную силу, силу Кориолиса и силу Эйлера. Этими силами можно пренебречь, если они малы, как обсуждалось в старой версии этого ответа (см. ниже). Более того, можно утверждать, что, если бы они не были малы, условия на Земле были бы слишком нестабильны, чтобы допустить существование жизни.

Комментарий
Два приведенных выше пункта по существу соответствуют двум пунктам в ОП.

Благодарность.
Я ценю помощь всех, кто участвовал в обсуждении и помог мне прояснить различные части этого ответа.

---

Старая версия ответа

Первая пуля в ОП - правильный ответ:

ускорения, с которыми мы имеем дело (особенно ), намного больше, чем ускорения из-за других движений, в которых он участвует?

Судя по комментариям, у многих есть суть идеи - более того, она уже упоминалась в ответах, цитируемых в ОП. Однако попытка вычислить все возможные ускорения — из-за вращения Земли вокруг своей оси, вращения вокруг Солнца, движения относительно Галактики — является трудным (если не невозможным) способом доказать это.

На самом деле все эти ускорения (а значит, и псевдосилы, возникающие при рассмотрении Земли как инерциальной системы отсчета) должны быть малы по сравнению с типичными ускорениями, которые мы испытываем на Земле (порядка$g$) как условие устойчивости нашего мирка.

Действительно, рассмотрим ускорение за счет вращения Земли с угловой скоростью$\omega$. Предполагая для простоты, что мы находимся на экваторе, можно пренебречь неинерционными эффектами.

$$a=\omega^2R\ll g.$$ Существенно, что характерные каждодневные ускорения порядка$g$или меньше, поскольку приведенное выше условие становится условием того, что мы имеем дело со скоростями, меньшими скорости убегания : $$\omega^2R=\frac{v^2}{R}\ll \frac{GM}{R^2}.$$ То есть, если бы рассматриваемые фиктивные силы были сравнимы с ускорениями, с которыми мы имеем дело, и если бы эти фиктивные силы были вызваны движением в гравитационном поле, наша среда не удерживалась бы вместе.

Благодарность: я благодарю @rob за то, что обратил мое внимание на этот простой факт.

Причина, по которой вы можете игнорировать вращательное движение Земли в большинстве повседневных задач, заключается в том, что это движение является круговым с большим периодом, постоянной тангенциальной скоростью и большим радиусом. Эти точки означают, что мы близки к инерции — ускорение, которое мы испытываем, является чисто центростремительным (то есть направленным вниз) и малым по сравнению с направленной вниз силой тяжести. Наша тангенциальная скорость фактически постоянна. Кривизна пути, по которому мы следуем вследствие вращения Земли, составляет порядка нескольких дюймов на милю (наибольшая на экваторе и нулевая на полюсах), поэтому она почти не отличается от прямой. Это объясняет, почему Землю можно считать близкой к инерционной для многих целей.

Что касается того, когда вы должны учитывать ускорение из-за вращения Земли, когда вам нужно выполнить расчеты с высокой степенью точности или когда эффекты, которые вы пытаетесь смоделировать, возникают на больших расстояниях по сравнению с кривизной пути, по которому мы следуем. .

Есть два основных класса причин, по которым мы можем игнорировать физический эффект, включая неинерциальные системы отсчета:

• Система содержит неопределенности, которые значительно больше, чем эффекты, которые мы пытаемся игнорировать.
• Система стабилизирована против эффектов, которые мы пытаемся игнорировать.

В большинстве ситуаций первое условие является движущей причиной, по которой мы можем игнорировать неинерционные эффекты. Если неинерционные эффекты искажают мои результаты на 1 см, а мои погрешности в оборудовании искажают их на 1 км, нет причин включать неинерционные эффекты. И, что неудивительно, по мере увеличения точности эксперимента способность игнорировать эти неинерционные эффекты снижается.

Другим распространенным случаем является стабилизированная система. Вот почему мы обычно игнорируем такие эффекты, как эффект Кориолиса, при моделировании самолетов. Обычно есть пилот, который сравнивает, где они находятся, с тем, где они хотят быть, и вносит поправки. В этих случаях мы можем даже не заметить, что эффект возник, хотя вы увидите исправления, если присмотритесь повнимательнее.

Точно так же бывают случаи, когда вы можете моделировать гравитационные эффекты как закон Ньютона,$\frac{GmM}{r^2}$. Большую часть времени это точно в соответствии с вашей неопределенностью. Иногда вам нужно перейти на модель J2 , которая учитывает несферическую природу Земли. В других случаях вам нужно перейти на модель J4. Другим нужен EGM2009 . Все зависит от того, насколько ваши неопределенности и стабилизирующие возможности соотносятся с неточностями в более простой модели.

А если непонятно? В некоторых случаях определить, какую модель использовать, действительно может быть искусством. Обычно мы ошибаемся из-за осторожности и используем модель более высокого порядка, если не можем доказать, что ее последствия будут незначительными. И пороги математически не просты. Излишне говорить, что я буду гораздо более требователен к точности операции на глазах, чем при попытке добиться хоумрана в казуальной лиге.

Поскольку вы просите математического объяснения, вот одно, ироничное:

• Пусть результат, который мы оцениваем по нашим упрощенным ментальным моделям, будет$o_{estimated}$.
• Пусть фактически наблюдаемый результат будет$o_{observed}$.
• Пусть разница будет$\Delta o = o_{observed} - o_{estimated}$.

Тогда мы можем игнорировать$\Delta o$пока$\Delta o \ll o_{observed}$.

Большой слон в этой математически оформленной комнате — недостающее определение «$\ll$". Это просто сокращение от "достаточно маленькое, чтобы его игнорировать", что приводит к круговому рассуждению "вы можете игнорировать это до тех пор, пока вы можете это игнорировать" (т. е. до тех пор, пока игнорирование не причинит вам вреда)1 ^. В нашей повседневной жизни мы все время многое упрощаем, мир невероятно сложен, но большая его часть нас не касается.

Примеры:

• Мы считаем землю плоской.
• Обычно мы не считаем, что скорость звука конечна.
• Мы никогда не считаем, что скорость света конечна.
• Мы игнорируем известный факт, что ньютоновская физика совершенно и фундаментально неверна (ваша точка зрения: вместо этого движущиеся объекты приобретают массу, ускорение искривляет пространство, мы взаимодействуем только с нашим непосредственным окружением (без дистанционного взаимодействия) и т. д.)
• Мы рассматриваем такие поверхности, как столешница, за которой я сижу, как жесткую непрерывную плоскость, занимающую однозначную пространственно-временную координату. (Но мы знаем, что он состоит из атомов с ядрами и электронными оболочками, и если мы посмотрим очень внимательно, нам будет трудно точно сказать, где он находится сейчас и когда.)

Все эти упрощения можно сделать, потому что различия между упрощенными предсказаниями и наблюдениями в нашей повседневной жизни невелики.

Когда это уже не так, мы должны уменьшить степень упрощения наших моделей. Примеры, соответствующие списку выше:

• Вы не можете наблюдать объекты на большом расстоянии.
• Вы не можете синхронно хлопать на стадионе.
• Временные интервалы между затмениями Ио, по-видимому, меняются в зависимости от сезона на Земле.
• Атомные часы на ваших спутниках GPS слишком спешат, даже несмотря на то, что мы подвергаем их самому тщательному контролю качества перед запуском.
• Когда мы облучаем кристаллы рентгеновскими лучами, мы наблюдаем регулярные закономерности, указывающие на то, что твердое вещество имеет внутреннюю структуру.

Таким образом, вся математика сводится к тому, что «вы можете безнаказанно упрощать до тех пор, пока не сможете». На самом деле это частный случай очень общего принципа «вы можете игнорировать реальность до тех пор, пока не сможете».

---

_{¹ Это прагматическое отношение, которое мы вынуждены принять, чтобы не утонуть в не относящихся к делу деталях, было исследовано Уильямом Джеймсом в начале 20-го века. Он разработал теорию истины о прагматизме , которая в типично американской манере избегала метафизической эзотерики и вместо этого сосредоточивалась на полезности. В лекции 6 он писал:}

Прагматизм, с другой стороны, задает свой обычный вопрос. «Предположим, что идея или убеждение истинны, — говорится в нем, — какое конкретное значение будет иметь его истинность в чьей-либо реальной жизни? Как будет реализована истина ? Чем, короче говоря, является денежная стоимость истины в эмпирическом выражении?

Вводные мысли

Что значит рассматривать Землю как инерциальную систему отсчета? Я бы сказал, что это означает, что мы притворяемся, что Земля — это бесконечная плоскость, движущаяся с постоянной скоростью в каком-то направлении. Это объясняет многие повседневные явления, поскольку мы настолько малы, что практически всегда живем в касательной плоскости Земли, а для тех из нас, кто не является профессионалом в аэрокосмической отрасли, предметы, которые мы подбрасываем в воздух, обычно падают до касательной. плоскость Земли меняется очень сильно.

Это допущение справедливо до тех пор, пока отклонение некоторого интересующего движения меньше некоторого порога приемлемости от движения, учитывающего неинерционные эффекты. Обратите внимание, что отклонение движения по существу всегда будет превышать любой порог при достаточном количестве времени (даже если я применяю$10^{-12}$Что касается вас, то, если я буду делать это непрерывно в течение достаточно долгого времени, вы в конце концов заметите, что вы смещаетесь относительно того места, где вы были бы, если бы сила не применялась. Нарастание небольшого эффекта, который всегда указывает в одном и том же направлении, пока не станет большим эффектом, иногда называют вековой вариацией .

Мы можем проиллюстрировать эти общие моменты на простом примере равномерного ускорения в 1 измерении. Тогда траектория «инерциального наблюдателя» равна$x_I (t) = x_0 + v_0 t$, и ускоренный наблюдатель, который "соответствует" инерциальному наблюдателю в$t=0$имеет траекторию$x_A (t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 = x_I(t) + \frac{1}{2} a t^2$. Нас интересует ошибка, которую мы делаем, игнорируя член ускорения, по сравнению с некоторым допустимым уровнем ошибки в позиции$\Delta x$

$$\begin{equation} \epsilon = \frac{\left| x_I(t) - x_A(t) \right| }{\Delta x} = \frac{a t^2}{2\Delta x} = \left(\frac{t}{t_A} \right)^2 \end{equation}$$ где$t_A = \sqrt{2 \Delta x / a}$это временной масштаб, в течение которого неинерционные эффекты становятся важными.

Ошибка растет с$t$, но становится большим только тогда, когда$t$в порядке шкалы времени$t_A$. Учитывая, что у нас есть некоторый фиксированный допуск в положении$\Delta x$, и что типичный эксперимент происходит в некотором масштабе человеческого времени$t_H$, влиянием ускорения можно пренебречь, если$t_H \ll t_A$, что требует$a$быть меньше, чем$\Delta x / t_H^2$. Эта форма аргумента масштабирования дает нам интуитивное представление о том, чего ожидать в более общих случаях.

Вращение Земли

Вероятно, наиболее очевидным негравитационным, неинерционным эффектом является вращение Земли. Я думаю, что этот момент был очень хорошо освещен другими ответами, и я согласен с выводом, что величина таких вещей, как сила Кориолиса, настолько мала, что вы не замечаете их в «человеческих» временных масштабах. Параметром, определяющим малость вращательных эффектов Земли, является угловая скорость.

...

Ну, на самом деле это не совсем так, так как движение Земли очень сложное, и помимо суточного вращения есть еще прецессия и нутация, а любые неинерционные силы от этих эффектов ничтожны по любому разумному определению, если понимать вековые эффекты от прецессия имеют решающее значение для астрономов).

Гравитационные и приливные эффекты Земли и Луны

Гравитация делает это немного сложным, но я думаю, что однородное гравитационное поле можно считать «мягкой» формой неинерционности, поскольку в соответствии с принципом эквивалентности однородное гравитационное поле — это просто равномерно ускоряющаяся система отсчета. Поэтому я думаю, что мы можем сказать, что Земля «достаточно инерционна», пока гравитационное поле «достаточно близко» к однородному. Гравитационное ускорение$\vec{g}$для изолированного сферического тела массой$M$является

$$\begin{equation} \vec{g} = \frac{GM}{r^2} \hat{e}_r = \frac{GM}{R^2} \left(1 - 2 \frac{\delta r}{R} + \cdots \right) \vec{e}_r \end{equation}$$ где$\hat{e}_r$- единичный вектор, указывающий от наблюдателя к центру Земли, и$R$это радиус Земли. Во втором равенстве мы записали расстояние от Земли до наблюдателя как$r=R+\delta r$, где$\delta r$- радиальное расстояние точки до поверхности Земли, расширенное в$\delta r / R$. Приливные силы из-за неравномерности ускорения Земли исходят из второго члена,$\delta r/R$. Пока высота объекта над поверхностью Земли составляет небольшую долю радиуса Земли, мы можем рассматривать гравитационное поле Земли как однородное. Это хорошее приближение, если вы подбросите яблоко на 1 метр в воздух. Это не очень хорошее приближение, если вы запускаете спутник на орбиту.

Вы можете попытаться объяснить более тонкие вещи, такие как тот факт, что Земля не является идеальной сферой. Следующим лучшим приближением было бы сказать, что Земля представляет собой эллипс; вы получите другой набор поправок, пропорциональный малой эллиптичности Земли,$e$. Еще более тонкие эффекты исходят от местной топографии Земли; они будут подавлены чем-то вроде высоты изменения топографии (например, высоты горы) по радиусу Земли. Все эти эффекты на самом деле заметны, если проводить высокоточные измерения гравитационного поля Земли.

Мы также можем наблюдать за приливными силами с Луны. Здесь$\delta R$то же самое, но теперь$M$меньше (это масса Луны, а не Земли) и$R$намного больше (разность центра Луны и поверхности Земли), поэтому приливная сила$\sim GM \delta r / R^3$намного меньше, чем приливная сила самой Земли. Конечно, мы замечаем приливы; в основном это сводится к тому факту, что мы малы по сравнению с Землей, поэтому мы замечаем небольшие изменения, а 12 часов — это значительная часть периода вращения Земли, поэтому$\omega t$становится порядка 1. Точнее, приливная сила Луны отличается от собственной приливной силы Земли тем, что$R$(как я определил его) зависит от времени, и часто гораздо легче увидеть изменяющийся во времени небольшой эффект, чем постоянный.

Движение через космос

Наконец, учитывая движение Земли через космос, как это также обсуждалось в других ответах, свободно падающее движение является инерционным. Если существуют действительно негравитационные силы, с которыми сталкивается Земля/солнечная система/галактика, они должны действовать в таком длительном масштабе времени, что они не будут иметь значения для наземных измерений.

Подведение итогов

Я думаю, что большинство пунктов здесь можно обобщить на другие планеты или, по крайней мере, дать вам условие для проверки, будет ли это обобщено. Хотя вам нужно рассуждать о каждом эффекте в каждом конкретном случае, всегда есть (а) какой-то небольшой параметр, контролирующий неинерционный эффект, будь то скорость вращения Земли,$\delta R/R$для приливных эффектов, эллиптичности и т. д., и (b) некоторая временная шкала, которая говорит нам, когда вековые эффекты становятся важными.

Если бы мы могли отделить силу притяжения между планетами, звездами и спутниками от той же самой силы, которую каждое небесное тело действует на незакрепленный объект на своей поверхности, эффекты неинерциальной системы отсчета были бы очевидны.

Например: Земля не является инерциальной системой отсчета, потому что вращается вокруг Солнца. Итак, если в полдень на кухонных весах взвесить книгу весом 3 кг, действует центростремительная сила

$$m \omega^2 R = 3*(2\pi \frac{1}{365*24*3600})^2 * 150*10^9 \approx 0.02 N$$

что, по-видимому, следует добавить к весу. Это означает 2 грамма, которые можно определить даже на дешевых весах. Но разницы в весе книги в течение дня нет. А причина, по теории Ньютона, в том, что книга притягивается Солнцем с той же силой, и эффекты нейтрализуются.

Итак, с одной стороны, обращающиеся по орбите небесные тела являются ускоренными системами отсчета, а с другой стороны, ожидаемые фиктивные силы, возникающие при этом, отсутствуют из-за сил гравитации.

Исключение составляет вращение вокруг собственной оси. Если есть точный способ узнать направление прямой линии от поверхности к центру, такие устройства, как отвес, покажут отклонение из-за фиктивной центробежной силы.

Движение вблизи Земли в основном инерционное, если объект ничем не "толкается"! Если вы бросите камень, он будет двигаться по инерции (не считая сопротивления воздуха), пока не упадет на землю .

Движение Земли вокруг Солнечной системы, Галактики и т. д. не имеет значения, если вас не толкают, и полностью доминирует, если вы находитесь на земле !

Артиллерия тоже движется по инерции; эффект Кориолиса - артефакт, видимый только наблюдателям с земли !

Компоненты вращения Земли на широте$\lambda$являются:

$$\mathbf \Omega_E=\begin{bmatrix} 0\\ \cos(\lambda)\, \Omega\\ \sin(\lambda)\,\Omega\\ \end{bmatrix}$$

отсюда мы можем получить псевдосилы из-за вращения Земли

$$\mathbf F_s=m\,\big(2\,(\mathbf\Omega_E\,\times \mathbf{\dot{R}})+\mathbf\Omega_E\times\,(\mathbf\Omega_E\times \mathbf R)\big)$$

где

$$\mathbf R=\begin{bmatrix} x \\ y \\ z\\ \end{bmatrix}\quad,\text{is the postion vector}$$

$$\frac{\mathbf F_s}{m}= \left[ \begin {array}{c} \left( \left( \cos \left( \lambda \right) \right) ^{2}x+ \left( \sin \left( \lambda \right) \right) ^{2}x \right) {\Omega}^{2}+ \left( -2\, \cos \left( \lambda \right) { \dot{z}}+2\, \sin \left( \lambda \right) {\dot{y}} \right) \Omega \\ \left( - \sin \left( \lambda \right) \cos \left( \lambda \right) z+ \left( \sin \left( \lambda \right) \right) ^{2}y \right) {\Omega}^{2}-2\, \sin \left( \lambda \right) \Omega\,{\dot{x}}\\ \left( \left( \cos \left( \lambda \right) \right) ^{2}z- \cos \left( \lambda \right) \sin \left( \lambda \right) y \right) {\Omega}^{2}+2\, \cos \left( \lambda \right) \Omega\,{\dot{x}}\end {array} \right]$$

ЭОМ во вращающейся системе свободного падения

$$\begin{bmatrix} \ddot{x} \\ \ddot{y} \\ \ddot{z} \\ \end{bmatrix}=-\frac{\mathbf F_s}{m}-\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ g \\ \end{bmatrix}\tag 1\\ g=\frac{G\,M_E}{(R_E+z)^2}=\frac{M_E}{\big(R_E\,(1+\frac{z}{R_E})\big)^2 }\approx \frac{G\,M_E}{R_E^2}$$ где$~R_E~$радиус Земли,$~M_E~$масса Земли и G гравитационная постоянная

с$~\Omega=7.2710^{-5}~$[1/с]$~~,\lambda=\frac{40}{180}\,\pi~$

$$\frac{\mathbf F_s}{m}=\left[ \begin {array}{c} 0.000000005285290000\,x- 0.0001113828620\,{ \dot z}+ 0.00009346131845\,{\dot y}\\ - 0.000000002602497284\,z+ 0.000000002183754512\,y- 0.00009346131845\,{ \dot x}\\ 0.000000003101535488\,z- 0.000000002602497284\,y+ 0.0001113828620\,{\dot x}\end {array} \right]$$

таким образом$\frac{\mathbf F_s}{m}\approx \mathbf 0~$и уравнение (1) является инерционным случаем.