Обязательно ли неопределенность не равна нулю для несобственных состояний?

Как вы сказали, наблюдаемый$\hat{F}$точно определена для и только для всех волновых функций, являющихся собственными функциями оператора$\hat{F}$.

$$\hat{F} \psi = \langle \hat{F} \rangle \psi \text{.}$$

Позиционный оператор вообще не имеет собственных функций:

$$\begin{align*} \hat{x} \psi &= \langle \hat{x} \rangle \psi \\ x \psi &= \langle \hat{x} \rangle \psi && \text{if $\psi \neq 0$} \\ x &= \langle \hat{x} \rangle \end{align*}$$

Единственным решением было бы$\psi = 0$которая не является нормируемой, т.е. не является волновой функцией. На самом деле, это не единственно возможное решение. Функция, равная$0$для всех$x \neq x_0$является собственной функцией. В этом сценарии вы можете думать о двух типах функций:

1.

$$\psi = \begin{cases} 0 &\text{if}\qquad x \neq x_0 \\ C &\text{if}\qquad x = x_0 \end{cases}$$

2.

$$\psi = \begin{cases} 0 &\text{if}\qquad x \neq x_0 \\ \infty &\text{if}\qquad x = x_0 \end{cases}$$

Первая не является волновой функцией, поскольку ее нельзя нормализовать. А вторая, известная дельта-функция Дирака, не интегрируема с квадратом.

Вы могли бы сказать: «А как насчет$\psi = \sqrt{\delta(x-x_o)}$?'' В этом случае оказывается, что оно действительно интегрируемо с квадратом. Видимо нет проблем. У меня нет конкретного ответа, чтобы отказаться от этого, но я не думаю,$\sqrt{\infty}$в$x_0$вообще имеет смысл. Я бы сказал, что это даже не функция.

То же самое и с импульсом, он точно определен только для плоской волны, которая опять же не интегрируема с квадратом.

Вывод:

$$\begin{align*} 0 &= \sigma_{F}^2 \\ &= \langle (\hat{F} - \langle\hat{F}\rangle)^2\rangle \\ &= \int_{\mathbb{R}^3} \psi^{*} (\hat{F} - \langle\hat{F}\rangle)^2 \psi \,d^3\mathbf{r} \\ &= \int_{\mathbb{R}^3} \psi^{*} (\hat{F} - \langle\hat{F}\rangle) (\hat{F} - \langle\hat{F}\rangle) \psi \,d^3\mathbf{r} \\ \end{align*}$$

Как$\hat{F}$эрмитов,$(\hat{F} - \langle\hat{F}\rangle)$также является эрмитовым.

$$\begin{align*} 0 &= \int_{\mathbb{R}^3} \psi^{*} (\hat{F} - \langle\hat{F}\rangle)^{\dagger} (\hat{F} - \langle\hat{F}\rangle) \psi \,d^3\mathbf{r} \\ &= \int_{\mathbb{R}^3} (\hat{F} - \langle\hat{F}\rangle) \psi (\hat{F} - \langle\hat{F}\rangle)^{*} \psi^{*} \,d^3\mathbf{r} \\ \end{align*}$$

определение$\phi = (\hat{F} - \langle\hat{F}\rangle)\psi$.

$$\begin{align*} 0 &= \int_{\mathbb{R}^3} \phi \phi^{*} \,d^3\mathbf{r} \\ &= \int_{\mathbb{R}^3} |\phi|^2 \,d^3\mathbf{r} \\ \end{align*}$$

Что подразумевает (за исключением$\phi$являющаяся функцией, равной$0 \,\forall x\neq x_0$, но я уже сказал, что происходит в таком случае)

$$\begin{align*} 0 &= |\phi|^2 \\ 0 &= \phi \\ 0 &= (\hat{F} - \langle\hat{F}\rangle)\psi \\ \hat{F} \psi &= \langle \hat{F} \rangle \psi \end{align*}$$

Все шаги$\iff$.