Почему ледяная ступа не тает 6 месяцев?

TLDR:

Ледяная ступа, такая как в вашем видео, не тает быстро, потому что она огромна. Даже если бы у вас был кубик льда такой же массы, он растаял бы примерно за пять месяцев. Как я пришел к этому результату?

Соотношение площади поверхности к объему формы имеет значение, но количество энергии, поглощаемой ступой, изменяется линейно с ее площадью. Как таковой,$t_{\text{melt}}\propto \text{area}/ \text{volume}$для фиксированного объема (и массы). В общем, у большинства форм эта цифра находится в пределах одного порядка, и даже «неэффективная» форма продержится несколько месяцев в таком массовом масштабе. Сферы имеют это значение при$4.8$в то время как кубы в 6.

Ниже я делаю расчет и показываю, что ничего таинственного со ступой не происходит. Я думаю, было бы немного удручающе сказать это в видео на YouTube, хотя :)

Правильное решение:

В общем, чтобы ответить на вопросы такого рода, нужно подумать обо всех входящих и исходящих потоках энергии и записать их в виде дифференциального уравнения. В этом случае у нас есть два основных пути нагрева:

1. Конвективный нагрев за счет обтекания ступы воздушным потоком.
2. Абсорбционный нагрев, исходящий от солнечного света.

В виде уравнения это можно записать так:

$$\frac{dQ}{dt} = 4\pi R(t)^2k(T_o-T_s) + a\pi R(t)^2 P_{\textit{sun}} = \left(4\pi k (T_o - T_s) + a\pi P_{\textit{sun}} \right)R(t)^2,$$

где$R(t)$— радиус сферической ступы (да, это приближение, которое мы будем использовать),$(T_o-T_s)$представляет собой постоянную разницу температур наружного воздуха при$7.5$C и поверхность плавления при$0$С,$a$поглощение льда при$50\%$и$P_{\textit{sun}}$средняя мощность солнечных лучей, падающих на ступу в$250 W/m^2$.

Предполагая, что все эти процессы постоянны во времени и что все они плавят поверхность сферы равномерно (на самом деле можно предположить, что верх тает быстрее, чем низ).

Решение дифференциального уравнения, где начальное условие для$2000$тонна ступы соответствует$R(t=0)\approx 8 \text{m}$.

Для решения уравнения необходимо найти зависимость между$\Delta{Q}$и$R$. Запись бесконечно малой теплопередачи$dQ$требуется для плавления$dR$тонкий слой льда:

$$\frac{dQ}{dR} = 4\pi R^2 \rho_{\textit{ice}} C_{\text{lat}},$$

где$C_{\textit{lat}}$скрытая теплота льда и$\rho_{\textit{ice}}$это плотность льда. Чтобы добиться прогресса, нужно написать основное уравнение потока как:

$$\frac{dQ}{dt} = \frac{dQ}{dR}\frac{dR}{dt} = 4\pi R^2 \rho_{\textit{ice}} C_{\text{lat}}\frac{dR}{dt} = \left(4\pi k (T_o - T_s) + a\pi P_{\textit{sun}} \right)R(t)^2.$$

Приведенное выше уравнение упрощается до:

$$\frac{dR}{dt} = \frac{4\pi k (T_o - T_s) + a\pi P_{\textit{sun}}}{4\pi \rho_{\textit{ice}} C_{\text{lat}}},$$

дает решение:

$$R(t) = R(t=0) - \frac{4\pi k (T_o - T_s) + a\pi P_{\textit{sun}}}{4\pi \rho_{\textit{ice}} C_{\text{lat}}}t.$$

Для оценки времени до расплавления всего шара положим$R(t_{\text{melt}})=0$, и найти, что мяч плавится в:

$$t_{\text{melt}}= R(t=0)\frac{4\pi \rho_{\textit{ice}} C_{\text{lat}}}{4\pi k (T_o - T_s) + a\pi P_{\textit{sun}}} \approx 2.3 \text{months}.$$

Во многих отношениях это нижняя оценка, как я предполагал:

1. Стабильная разница температур между плавящимся внешним слоем и внешней атмосферой должна составлять 7,5 градусов Цельсия. В действительности средний температурный градиент будет ниже.
2. Я также предположил, что вся ступа находится в$0$C изначально, в то время как на самом деле он имеет более низкую температуру, и поэтому необходимо задействовать больше тепла, чтобы поднять его до фазового перехода.
3. Я предполагал умеренно ветреную среду с$k= 50J/m^2 K$, при отсутствии ветра она снижается до$k= 10J/m^2 K$и время плавления становится около 9 месяцев. Это сложный параметр для угадывания, но обычно он составляет от 10 до 100. Я выбрал среднее.

Тем не менее, эта оценка показывает, что ступа будет таять в течение нескольких месяцев , как утверждается в видео. Это не намного больше, чем оценка порядка величины, но она доказывает, что вам не нужно искать какие-то таинственные эффекты помимо обычного теплообмена.

Справочник по выбору температуры: Температура в Лехе в течение всего года

Хорошо, это может продолжаться дольше, но пройдите через это один раз.

Посмотрите, ступа формируется в течение месяца и может достигать максимальной высоты около$15$к$50\,\mathrm m$и может хранить до$2$миллионов литров воды, что очень много .

Если мы вычислим его массу, она будет такой же$2$млн кг.

Такая огромная масса примерно$-30\mathrm{°C}$требуется много энергии, чтобы таять и течь ручьями. Если посчитать, то может достигать примерно 210 миллионов джоулей энергии (с некоторыми приближениями).

Теперь, если мы погуглим о средней энергии солнца в Ладакхе, получим следующее:

Мы можем принять среднее значение$6\,\mathrm{kW\,h/m^2/day}$а это значит$250\,\mathrm{J/m^2}$.

Теперь криволинейная площадь поверхности имеет значение. Его радиус колеблется от$10\,\mathrm{m}$к$20\,\mathrm{m}$и высота варьируется от$20$к$50\,\mathrm m$. Таким образом, мы можем вычислить площадь как среднюю. А потом посчитайте общую энергию на ступу. И из этого мы можем получить результат. Я сделал расчеты и получил$180$дней примерно. Дни отсчитываются от января, потому что требуется месяц, чтобы ступы сформировались до такой высоты.

Итак, решающим фактором в данном случае была его масса и температура зимой и в остальные месяцы (показаны на рисунке).

Кроме того, поглощение тепла происходит за счет теплых воздушных потоков, которые дуют в Ладакхе в основном в период с марта по май, что также вызывает его таяние, и, по расчетам Акерая, для его полного таяния потребуется два месяца или больше.

ПРИМЕЧАНИЕ: если какой-либо запрос с данными, вы можете использовать Google. Надеюсь, поможет.

Большое спасибо Akerai за то, что сообщили мне о моей ошибке.

@Ankit Kumar дает очень проницательный ответ о практической стороне явления. Я хотел бы пролить свет на теоретическую причину заявления г-на Вангчука (и более простой способ взглянуть на нее).

Ступа состоит из льда, поэтому тепло от солнца (или горячего воздуха) поглощается и передается ступой . Допустим, ступа поглощает тепло$Q$за определенное время$t$. Теперь количество теплоты, поглощенное за это время (скорость тепловыделения), будет равно:

$$\frac{Q}{t} = k A \frac{T_o - T_i}{d}$$ где$A$площадь ступы,$T_o$температура снаружи ступы и$T_i$это температура внутри.

Теперь, когда вы увеличиваете площадь ступы, тепло, поглощаемое ею за заданное количество времени, увеличивается.

Вы хотите убедиться, что вы максимизируете массу льда, хранящегося в ступе, и минимизируете поглощаемое им тепло. Это позволит убедиться, что это длится дольше. Так как масса зависит от объема ($M = \rho V$;$\rho$это плотность), вы в основном хотите получить как можно более низкое отношение площади поверхности к объему (чтобы обеспечить меньшую площадь поверхности для поглощения и проводимости, а также увеличить объем и массу).

Математически наименьшее отношение площади поверхности к объему имеет сфера (или, как говорит г-н Вангчук, полусфера: вы не хотите строить огромный снежный ком :). Но, если учесть, как они строят ледяную ступу, то в этом есть смысл: они выпускают воду из вертикально ориентированной трубы, и когда вода подвергается воздействию холодного климата Ладакха, она, в конце концов, замерзает, образуя конус.

Конус имеет площадь поверхности$\pi r l$(без учета круглой нижней поверхности) и объемом$\frac{1}{3} \pi r^2 h$; это делает его одной из фигур с самым низким отношением площади поверхности к объему (хотя и не таким низким, как у сферы).

Подводя итог: лед передает тепло, проводя его, и способ свести к минимуму поглощаемое и проводимое тепло заключается в том, чтобы минимизировать площадь поверхности, а для максимального количества льда вам нужен максимальный объем. Таким образом, используется форма с меньшей площадью поверхности для большого объема, в данном случае конус. Это просто из-за явления проводимости. Для этого даже не нужен закон Стефана-Больцмана.