Как мы можем интерпретировать поляризацию и частоту, когда имеем дело с одним единственным фотоном?

Уравнения Максвелла точно определяют распространение одиночного фотона в свободном пространстве. Состояние фотона может быть определено векторным состоянием в гильбертовом пространстве, и это векторное состояние является точной математической аналогией$\vec{E}$а также$\vec{H}$поля макроскопического, классического поля. Это не означает, что для одного фотона$\vec{E}$а также$\vec{H}$следует интерпретировать как электрическое и магнитное поля: вектор со значением$\vec{E}$а также$\vec{H}$состояние — это унитарно развивающееся квантовое состояние до проведения каких-либо измерений. Но:

Существует однозначное соответствие между каждым классическим электромагнитным полем для данной системы и однофотонным квантовым состоянием для фотона, распространяющегося в этой системе.

Это первое квантованное описание фотона. Чтобы понять, какие измерения подразумевает состояние фотона, нужно перейти ко второму квантованному описанию, где у нас есть наблюдаемые электрические и магнитные поля, измерения которых ведут себя все больше и больше как классические измерения по мере увеличения числа фотонов. Классическое состояние — это когерентное состояние второго квантованного поля. Но, учитывая, что фотон может быть описан векторным квантовым состоянием, должно быть ясно, что поляризация и все подобные «классические» атрибуты имеют значение для одинокого фотона.

В частности, фотон может быть квантовой суперпозицией собственных состояний, поэтому:

Один фотон может распространяться по диапазону частот и длин волн (т. е. он может находиться в суперпозиции собственных энергетических состояний) с возможной различной поляризацией для всех компонентов суперпозиции.

Можно даже расширить эту концепцию на распространение через диэлектрические среды: свет становится квантовой суперпозицией свободных фотонов и возбужденных состояний материи, а одинокая, первая квантованная квазичастица получается в результате этой суперпозиции (строго говоря, скорее «поляритоном», чем истинным, фундаментальный, фотон) имеет квантовое состояние, которое развивается в соответствии с уравнениями Максвелла, решенными для среды. Так, например, речь идет об одиночных фотонах, распространяющихся в связанных модах оптических волокон.

Другой взгляд на однофотонное состояние дан в первой главе книги Скалли и Зубайри «Квантовая оптика» . Однофотонное состояние$\psi$может быть определена статистикой ансамбля , полученной из наблюдаемых второго квантованного электрического и магнитного поля:

$$\vec{E} = \left(\begin{array}{c}\left<0 | \hat{E}_x | \psi\right>\\\left<0 | \hat{E}_y | \psi\right>\\\left<0 | \hat{E}_z | \psi\right>\end{array}\right);\quad\quad \vec{B} = \left(\begin{array}{c}\left<0 | \hat{B}_x | \psi\right>\\\left<0 | \hat{B}_y | \psi\right>\\\left<0 | \hat{B}_z | \psi\right>\end{array}\right)$$

куда$\hat{E}_j$это$j^{th}$компонент векторного значения электрического поля, наблюдаемого и$\hat{B}_j$наблюдаемых величин магнитной индукции. ($[\hat{E}_j, \hat{B}_j]=0$за$j\neq k$и, в правильных единицах,$[\hat{E}_j, \hat{B}_j]=i\,\hbar\,I$). Для однофотонного состояния$\psi$, эти статистические данные:

1. Распространяйте точно по уравнениям Максвелла;
2. Неопределенно определить квантовое состояние светового поля для однофотонного состояния, даже если они не являются состоянием. Это точно так же, как среднее классического распределения вероятностей Пуассона однозначно определяет распределение (даже если это одиночное число, а не распределение).

С генералом все гораздо сложнее,$N$фотонных состояний, поэтому нам нужно гораздо больше информации, чем простые средства, чтобы полностью определить квантовое состояние, особенно с запутанными состояниями. Возвращаясь к нашей классической аналогии с распределением вероятностей, нормальное распределение нуждается в двух независимых параметрах, среднем значении и дисперсии, чтобы полностью определить его, поэтому это более сложная вещь, чем распределение Пуассона, которое определяется только своим средним значением (которое равно дисперсии). …Таким образом, квантовые поля — гораздо более сложные вещи, чем классические. Но последовательныйсостояние любого фотона снова однозначно определяется средними значениями наблюдаемых поля, что означает, что снова распространяется по тем же уравнениям Максвелла, что и однофотонные средства: отсюда взаимное соответствие между классическими и однофотонными состояниями Я говорил о... мне нравится называть это принципом соответствия одного фотона ("OpCoP"). Почему наши макроскопические электромагнитные поля ведут себя как когерентные квантовые состояния, а не как гораздо более общие, запутанные состояния (если только не предпринимать значительных экспериментальных усилий для наблюдения запутанности), все еще остается открытым вопросом. Однако интересно отметить, что класс когерентных состояний является уникальным классом состояний квантового гармонического осциллятора, которые достигают нижней границы неравенства неопределенности Гейзенберга.

Также смотрите мои ответы на:

1. Если фотоны несут 1 единицу спина, то почему видимый свет не имеет углового момента? а также
2. Электромагнитное излучение и кванты .

Между прочим, даже несмотря на то, что общие запутанные световые состояния намного сложнее, чем однофотонные (и, что эквивалентно классическим) световым состояниям, в принципе мы все же можем разложить их на квантовую суперпозицию тензорных произведений когерентных состояний и, таким образом, представить общее состояние набором полевых наблюдаемых средств. Это был один из вкладов лауреата Нобелевской премии 2005 года Роя Глаубера, который показал вышеизложенное в 1963 году в:

Р. Глаубер, "Когерентные и некогерентные состояния поля излучения", Phys. 131, 2766–2788 (1963)

Однако произведения тензора когерентного состояния являются более полными, поэтому разложение общего квантового состояния на когерентные состояния весьма неоднозначно. Тем не менее, такая декомпозиция позволяет применить классические методы к запутанным квантовым состояниям (в принципе - на практике это все еще сложно!).

Если вы погуглите Иво Белыницкого-Бирулу и его работу над волновой функцией фотона, у него есть куча других слов об однофотонной волновой функции. Он определяет волновую функцию фотона как положительную частотную часть собственных функций с левой и правой круговой поляризацией.$\vec{F}_\pm = \sqrt{\epsilon} \vec{E} \pm i \sqrt{\mu} \vec{H}$. Личный сайт Иво Белыницкого-Бирулы находится по адресу http://cft.edu.pl/~birula , и все его публикации можно скачать оттуда.$|\vec{F}_+|^2 + |\vec{F}_-|^2$- плотность электромагнитной энергии. Он определяет пару$(\vec{F}_+, \vec{F}_-)$, нормированный так, что$|\vec{F}_+|^2 + |\vec{F}_-|^2$становится плотностью вероятности поглотить фотон в определенной точке, чтобы быть первой квантованной волновой функцией фотона (без наблюдаемой позиции). Существует специальный нелокальный скалярный продукт для определения гильбертова пространства, и в таком формализме общая наблюдаемая гамильтониан имеет вид$\hbar\, c\, \mathrm{diag}\left(\nabla\wedge, -\nabla\wedge\right)$. См. также содержательное изложение ключевого результата Арнольдом Ноймайером ( здесь ) в разделе 7 книги Белыницкого-Бирулы «Фотонная волновая функция» в Progress in Optics 36 V (1996), стр. 245-294, которую также можно загрузить с arXiv:quant-ph/ 0508202 . В гильбертовом пространстве римановых векторных пар Зильберштейна, которое определяет Бялыницкий-Бирула, действует неприводимое унитарное представление, определяемое наблюдаемыми Бялиницкого-Бирулы.$\hat{H}$,$\hat{\mathbf{P}}$,$\hat{\mathbf{K}}$а также$\hat{\mathbf{J}}$, полной группы Пуанкаре, представленной в статье.

Если поляризация интерпретируется как форма/направление электрического поля в электромагнитной волне, а частота как частота колебаний, как мы можем интерпретировать поляризацию и частоту, когда имеем дело с одним фотоном?

Классическая волна состоит из большого ансамбля фотонов. И уравнения фотон/частица, и уравнения Максвелла содержат в своих решениях состояние электрического поля. Таким образом, дело не в интерпретации, а в том, чтобы показать, как из отдельных отдельных фотонов, математически описываемых уравнением вторичного квантования как такового, можно вывести для ансамбля фотонов электромагнитную волну.

Это не просто, но это было сделано. Демонстрация приведена в статье в этом блоге .

Рука машет ответом: функции, описывающие фотоны, должны быть когерентны (по фазе), тогда константы в их математическом описании, относящиеся к электрическому и магнитному полю, «чудесным образом» создают классическое электромагнитное поле, несущее содержащуюся в нем частоту. в описании частицы в E=h*nu.

Энергия фотона просто hf, поэтому, если вы можете определить энергию отдельного фотона, вы можете определить его частоту. Один из способов определения энергии фотона; Предполагая, что вы можете генерировать один фотон за раз, все с той же энергией, будет использовать фотоэлектрический эффект с материалами фотокатода с регулируемой шириной запрещенной зоны в ФЭУ, которые могут обнаруживать одиночные фотоны. Фотокатоды с переменной шириной запрещенной зоны могут быть изготовлены в ограниченном диапазоне из тройных или четвертичных соединений III-V, таких как GaAsP или InGaAsP. Катоды с меньшей шириной запрещенной зоны будут испускать фотоэлектроны; более высокая ширина запрещенной зоны не будет.

Вы не сказали, что хотите знать практический способ сделать это, но если вам нужны отдельные фотоны известной частоты и поляризации, изготовление ФЭУ не должно быть для вас проблемой.