Почему ∇μTμν=0∇μTμν=0\nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0 справедливо для теорий f(R)f(R)f(R)?

Диффеоморфизм инвариантность действия материи$S_m$приводит (через 2-ю теорему Нётер ) к тождеству$^1$

$$\nabla_{\mu} T^{\mu\nu}~\stackrel{m}{\approx}~0, \qquad T^{\mu\nu}~:=~\mp\frac{2}{\sqrt{|g|}}\frac{\delta S_m}{\delta g_{\mu\nu}}, \tag{1}$$

ср. например, ссылка 1. [Здесь$\stackrel{m}{\approx}$символ означает равенство по модулю материи. Связь$\nabla$это связь Леви-Чивиты. Соглашение о знаках Минковского$(\pm,\mp,\mp,\mp)$.]

Использованная литература:

1. Р. М. Уолд, GR; Приложение Д.1.

--

$^1$Обратите внимание, что ур. (1) не является законом сохранения сам по себе. Чтобы получить закон сохранения, нам нужно векторное поле Киллинга, ср. например, мой ответ Phys.SE здесь .

Считайте, что вы получаете уравнения поля, устанавливая$\delta S=0$, где$S$предпринято ли действие.

Помните, что для f(R)-теорий действие идет следующим образом:

$S=\dfrac{16\pi G}{c^4}\int\,d^4\mathbf{x}\,\left(\sqrt{-g}\,f(R)+\mathcal{L}_m\right)$

и исходные, уравнения поля Эйнштейна изменены только в левой части равенства («геометрические члены»):

$\dfrac{\partial f(R)}{\partial R}R_{\mu\nu}-\dfrac{f(R)}{2}g_{\mu\nu}+\left[g_{\mu\nu}g^{\alpha\beta}\nabla_{\alpha}\nabla_{\beta}-\nabla_{\mu}\nabla_{\nu}\right]\dfrac{\partial f(R)}{\partial R}=\dfrac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$.

Для общей теории относительности действие Эйнштейна-Гильберта выглядит следующим образом:

$S=\dfrac{16\pi G}{c^4}\int\,d^4\mathbf{x}\,\left(\sqrt{-g}\,R+\mathcal{L}_m\right)$

и, таким образом, получаются знаменитые, всем известные уравнения поля Эйнштейна:

$R_{\mu\nu}-\dfrac{R}{2}g_{\mu\nu}=\dfrac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$

где, как видите, мы еще не входим в космологическую постоянную (или плотность энергии вакуума).

Вы можете принять определение тензора энергии-импульса как:

$T_{\mu\nu}=\,-\dfrac{2}{\sqrt{-g}}\dfrac{\,\delta\,\left(\sqrt{-g}\mathcal{L}_m\right)}{\delta\,g^{\mu\nu}}$

для любого действия, заданного где$\mathcal{L}_m$— это лагранжиан материи, присутствующей в вашей пространственно-временной конфигурации, соответствующий, в конце концов, тензору энергии-импульса.

Сверху видно, что «члены энергии-импульса» в правой части уравнений одинаковы для обеих теорий и добавляются вручную в действиях. Как правило, мы получаем уравнения поля Эйнштейна, учитывающие действие EH без учета$\mathcal{L}_m$для вакуума:

$R_{\mu\nu}-\dfrac{R}{2}g_{\mu\nu}=0\,$для$\,\mathcal{L}_m=0$

Закон сохранения будет по-прежнему соблюдаться из определения действия для f(R).