В физике говорят, что величина сохраняется, если ее оператор коммутирует с гамильтонианом.
Например, в системах с конденсированным состоянием, когда импульс коммутирует с гамильтонианом как , говорят, что это сохраняющаяся величина.
Теперь возьмем оператор симметрии обращения времени . Когда он коммутирует с нашим гамильтонианом как , мы говорим, что симметрия обращения времени сохраняется для нашей системы.
Однако, если мы возьмем дырочную симметрию частицы и оператор киральной симметрии , где они антикоммутируют с гамильтонианом , мы говорим, что симметрия частица-дырка и киральная симметрия сохраняются.
Чего я действительно не понимаю, так это того, почему мы используем соотношение антикоммутации, а не соотношение коммутации, чтобы определить, сохраняются ли симметрия частица-дырка и киральная симметрия.
Во-первых, мы не говорим, что «симметрия обращения времени сохраняется». Импульс сохраняется, потому что он является генератором непрерывных преобразований, переводов. Дискретные симметрии, такие как обращение времени, которые не порождают непрерывных преобразований, не индуцируют «законы сохранения» в обычном смысле этого слова. Во-первых, для них нет течения Нётер, ср. этот вопрос и ответы на него .
Киральная «симметрия», т. е. такая, которая антикоммутирует с гамильтонианом, не является симметрией в строгом смысле коммутирующей с гамильтонианом. Такие киральные «симметрии» не связаны с сохраняющимися величинами (поскольку, опять же, они не коммутируют с гамильтонианом, что и означает сохранение ) .
Тем не менее киральная «симметрия» полезна, потому что она подразумевает некоторые сведения о спектре гамильтониана. Например, из , можно непосредственно показать, что ненулевые собственные значения гамильтониана идут парами: если является собственным состоянием для собственного значения , затем является собственным состоянием для .
И оператор частица-дырка, и киральный оператор коммутируют с полностью вторично квантованным гамильтонианом. Только для одночастичного гамильтониана они оказываются антикоммутирующими.
Чтобы подтвердить это утверждение, пожалуйста, посмотрите вверх.
Это две лучшие ссылки, которые действительно затрагивают этот вопрос. Кажется, что его просматривают или игнорируют (может быть, намеренно) в большинстве других мест.