Вывод золотого правила Ферми для времени жизни квазиэлектронов

Следующее рассуждение в основном следует этому доказательству.

---

Золотое правило является прямым следствием уравнения Шредингера, решенного в низшем порядке по возмущению$H'$гамильтониана,

$$\left(H_{0}+H'-\mathrm{i} \hbar \frac{\partial }{\partial t}\right)\sum _{n}a_{n}(t)|n\rangle \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} tE_{n}/\hbar }=0,$$

где$E_n$и$|n⟩$являются стационарными собственными значениями и собственными функциями$H_0$.

Перепишем это уравнение как уравнение временной эволюции коэффициентов a$a_{n}(t)$,

$$\mathrm{i} \hbar {\frac {\mathrm {d} a_{k}(t)}{\mathrm {d} t}}=\sum _{n}\langle k|H'|n\rangle a_{n}(t)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t(E_{k}-E_{n})/\hbar }.$$

Это уравнение является точным, но обычно не может быть решено на практике.

Для слабого постоянного возмущения$H'$который включается в$t=0$, мы можем использовать теорию возмущений. А именно, если$H ′ = 0$очевидно, что$a_{n}(t)=\delta_{n,i}$, что просто говорит о том, что система остается в начальном состоянии$i$.

Для штатов$k\neq i$,$a_{k}(t)$становится ненулевым из-за$H'\neq 0$и они предполагаются малыми из-за слабого возмущения. Следовательно, можно подставить форму нулевого порядка$a_{n}(t)=\delta_{n,i}$в приведенное выше уравнение, чтобы получить первую поправку для амплитуд$a_{k}(t)$,

$$\mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} a_{k}(t)}{\mathrm {d} t}}=\langle k|H'|i\rangle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} t(E_{k}-E_{i})/\hbar },$$

который интегрируется в

$$\mathrm {i} \hbar a_{k}(t)=2\langle k|H'|i\rangle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega t/2}{\frac {\sin \omega t/2}{\omega }}$$

для$\omega \equiv (E_{k}-E_{i})/\hbar$, для состояния с$a_i(0) =1, a_k(0)=0$, переходя в состояние с$a_k(t)$(снова,$k\neq i$).

Тогда скорость перехода

$$\Gamma_{i\rightarrow k}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left|a_{k}(t)\right|^{2}={\frac {2|\langle k|H'|i\rangle |^{2}}{\hbar ^{2}}}{\frac {\sin \omega t}{\omega }},$$

а$sinc$функция резко достигает максимума для небольших$\omega$. В$\omega =0$,$\sin(\omega t)/\omega =t$, поэтому скорость перехода изменяется линейно с$t$для изолированного государства$|k\rangle$!

В противоположность этому, для состояний энергии$E$встроенные в континуум, все они должны учитываться коллективно. Для плотности состояний на единичный интервал энергии$\rho(E)$, они должны быть проинтегрированы по своим энергиям, и откуда соответствующие$\omega$с,

$$\Gamma_{i\rightarrow f}={\frac {2}{\hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} \omega \rho (\omega )|\langle f|H'|i\rangle |^{2}\,{\frac {\sin \omega t}{\omega }}.$$

Для больших$t$,$sinc$функция резко достигает пика$\omega\approx 0$, а снаружи пренебрежимо мало$[-2\pi/t,2\pi/t]$; плотность и переходный элемент можно вынести из интеграла, так что скорость

$$\Gamma_{i\rightarrow f}={\frac {2\rho |\langle f|H'|i\rangle |^{2}}{\hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} \omega {\frac {\sin \omega t}{\omega }}$$ теперь просто пропорциональна постоянному интегралу Дирихле,$\pi$.

Зависимость от времени исчезла, и следует постоянная скорость затухания согласно золотому правилу.

Как константа, она лежит в основе экспоненциальных законов распада частиц радиоактивности. (Однако в течение слишком долгого времени вековой рост$a_k(t)$s делает недействительной теорию возмущений низшего порядка, которая требует$a_k<< a_i$.)

---

Если это поможет, попробуйте взглянуть на эту статью http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/9783527665709.app6/pdf