Пертурбативный ряд для бозонов

Это правда, что «пертурбативный ряд действителен только тогда, когда возмущенное состояние качественно подобно невозмущенному состоянию». Обычно теория возмущений приемлема, когда связь слабая, и в этом случае связь можно рассматривать как небольшое возмущение теории свободного поля при всех энергиях (например, теория Юкавы и$\phi^{4}$теория.

Проблема с теорией возмущений возникает, когда связь не является слабой, и в этом случае теория возмущений НЕ МОЖЕТ использоваться. Это приводит к теориям с фракционированием заряда, конфайнментом и эмерджентным пространством (соответствие AdS/CFT).

Дополнительную информацию см. в разделе «Взаимодействующие поля» лекций Tong по QFT http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft.html.

Оригинальную статью, показывающую, что методы КТП можно использовать для многих бозонных систем, см. в статье Беляева http://www.jetp.ac.ru/cgi-bin/dn/e_007_02_0289.pdf .

1) Можем ли мы провести пертурбативный анализ и использовать диаграммное разложение, функцию Грина и т. д. — все эти теоретико-полевые штучки [для бозонов]?

В общем, теоретико-полевые методы (при конечной или нулевой температуре) могут быть применены как к бозонам, так и к фермионам с небольшими отличиями, которые происходят из статистики Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна. Например, вы можете проконсультироваться

Феттер, А.Л. и Дж.Д. Валецка. « Квантовая теория систем многих частиц » (1971).

Главное отличие заключается не в многочастичном формализме, а в физическом поведении многочастичных систем бозонов или фермионов; а именно, бозонное основное состояние часто (но не всегда) является БЭК , в то время как фермионное основное состояние часто является ферми-жидкостью . Простейший пример бозонной системы многих тел возникает при изучении квантованных колебаний решетки (приводящих к невзаимодействующим фононам [см., например, главу 12 ссылки выше]) или вторично-квантованных форм уравнений Максвелла (ведущих невзаимодействующим фотонам ) .

2) Когда метод пертурбативных рядов не работает?

Это очень широкий вопрос. Обычно пертурбативный метод справедлив при достаточно малой величине силы взаимодействия. Когда сила взаимодействия увеличивается или когда вводятся новые типы взаимодействий, пертурбативное основное состояние может стать неустойчивым, что приведет к образованию нового основного состояния с совершенно другими свойствами; на самом деле это квантовый фазовый переход . В случае бозонов возможен переход от сверхтекучей фазы к фазе , изолирующей Мотта (см., например, Greiner, M. et al. , Nature 415, 6867 (2002): 39–44 <PDF> ).

В пертурбативном анализе признаком таких фазовых переходов обычно является расхождение пертурбативного суммирования в определенном режиме параметров. Это означает, что правильное пертурбативное суммирование на двух сторонах перехода различно; то есть они выполняются вокруг разных основных состояний и включают разные физические процессы. Например, в упомянутом выше сверхтекучем переходе Мотта гамильтониан представляет собой бозонную модель Хаббарда ,

$$H = J \sum_{\langle i , j \rangle} a_i^\dagger a_j + \sum_{i} \epsilon_i \hat{n}_i + U \sum_{i} \hat{n}_i (\hat{n}_i - 1) ~,$$

где$i,j$индексы узла решетки,$a_i^\dagger / a_i$– операторы рождения/уничтожения бозонов на решетке ($\hat{n}_i$— оператор числа частиц),$\epsilon_i$- локальная энергия бозона на узле решетки, член, пропорциональный$J$— кинетическая (или «прыжковая») часть, а член пропорциональный$U$представляет собой (пространственно) локальное взаимодействие между бозонами. Основное состояние в основном определяется соотношением$U/J$, относительная сила локального взаимодействия по сравнению с кинетической энергией. Если$U/J \ll 1$, основное состояние является сверхтекучим, т. е. набором блуждающих ( делокализованных ) бозонов; если$U/J \gg 1$, основное состояние является моттовским изолятором с сильно локализованными бозонами. Два основных состояния существенно различаются, поэтому должна быть точка перехода при промежуточных значениях.$U/J \approx 1$. Пертурбативное расширение в сверхтекучей фазе происходит вокруг кинетической части в предположении, что$U/J \ll 1$, в то время как пертурбативное расширение в изолирующей фазе Мотта происходит вокруг взаимодействующей части, предполагая$J/U \ll 1$. Это можно понять более ясно, обратившись к цитируемой статье Greiner et al . Для подробного расчета обращайтесь

Стооф, HTC « Ультрахолодные квантовые поля » (2014), гл. 16.

В двух приведенных выше разделах я попытался кратко объяснить процитированный абзац из книги Мэттука.

Наконец, я считаю, что следующее утверждение,

Эту проблему можно решить, введя аномальные пропагаторы, как в теории БКШ. Что касается фермионов, то наличие края Ферми обеспечивает сходимость рядов возмущений

не правильно в таком виде. Во-первых, в случае бозонов нет «фиксации»; если основное состояние изменяется, пертурбативное расширение должно выполняться вокруг нового основного состояния, независимо от фермионного или бозонного свойства системы , как объяснялось выше. Во-вторых, наличие поверхности Ферми не гарантирует сходимости ряда возмущений для фермионной системы; примером этого может быть проблема Кондо, для которой теория возмущений не работает при низких температурах, но основное состояние представляет собой ферми-жидкость с надлежащей поверхностью Ферми [см., например, Нозьер, П. «Проблема Кондо: причудливые математические методы против простые физические идеи». проц. 14-я конф. Низкая темп. Phys., часть V, Финляндия (август 1975 г.), 339–374].

1) Должен заметить, что большинство пертурбативных разложений, представляющих интерес для физики, формально не сходится (а чаще всего и не суммируемо по Борелю).

2) Есть много примеров полезных пертурбативных вычислений для бозонов. Самым старым примером (вероятно) в физике многих тел является расчет энергии, приходящейся на одну частицу слабо неидеального бозе-газа твердых сфер, см. TD Lee and С N. Yang, Phys. Rev., 105:1119 1957. Другие примеры включают расчет критических показателей в$\phi^4$теория (используя разложение по эпсилону). В физике частиц не так уж много чисто бозонных теорий. Примером может служить расчет уравнения состояния чисто глюонной плазмы при высокой температуре (которая является пертурбативной из-за асимптотической свободы).

3) Между бозонами и фермионами действительно есть некоторые различия. При конечной температуре распределение Бозе-Эйнштейна имеет$T/\omega$расходимость, тогда как статистика Ферми-Дирака приводит к блокировке Паули. $T/\omega$приводит к различным проблемам ИК, но при слабой связи их обычно можно решить с помощью пересуммирования («теория экранированных возмущений»). Блокировка Паули улучшает пертурбативное расширение в фермионных теориях. Это основа жидкостной теории Ландау, которая предполагает, что пертурбативное расширение может существовать, даже если основная связь сильна. Однако, i) параметры жидкости Ландау сами по себе являются непертурбативными параметрами, ii) основное состояние жидкости Ландау обычно в конечном счете неустойчиво (по отношению к конденсации, замерзанию, магнетизму и т. д.).