Криволинейные координаты и базисные векторы

Рассмотрим систему, состоящую из$N$точки материи, с позициями$\vec{r}_i$,$i=1,\ldots,N$относится к остальному пространству системы отсчета$\cal I$. При отсутствии дополнительных ограничений система описывается в$\mathbb R^{3N+1}$, где$\mathbb R^{3N}$относится к пространственным декартовым координатам точек в$\cal I$, тогда как последний$\mathbb R$указывает ось времени$t$.

Далее предположим, что предполагается, что точки удовлетворяют некоторым ограничениям, описываемым формулой$c < 3N$условия,

$$f_j(t,\vec{r}_1,\ldots, \vec{r}_N) =0\quad j=1,\ldots, c\:.\tag{1}$$ Например, приведенные выше условия могут указывать, что некоторые расстояния между $\vec{r}_i$и $\vec{r}_j$является заданной функцией времени, или что некоторые точки принадлежат линиям или поверхностям, зафиксированным в $\cal I$, или деформирующийся во времени по заданному закону (окружность радиусом $R(t)$в зависимости от времени) и так далее. Предположим, что функции $f_j$гладкие( $C^2$будет достаточно) и сосредоточимся на матрице Якоби элементов $$\frac{\partial f_j}{\partial x_{ik}}$$ где $\vec{r}_i = x_{i1}\vec{e}_1+ x_{i2}\vec{e}_2+ x_{i3}\vec{e}_3$. Если эта матрица имеет $c$линейно независимая строка (или столбец) на множестве $S \subset \mathbb R^{3N+1}$определенные (1), ограничения называются голономными .

В этом случае как прямое следствие так называемой теоремы о регулярных значениях можно доказать, что всякое$a\in S$признает окрестности$U_a$, такой, что$S \cap U_a$однозначно и гладко описывается локальными координатами$t, q_1,\ldots, q_n$с$n= 3N-c$и где$t$является первоначально используемой координатой времени.

Другими словами, более математическими словами$S$является вложенным подмногообразием$\mathbb R^{3N+1}$и$t, q_1,\ldots, q_n$являются локальной системой координат.

За каждый фиксированный$t_0$, элементы$a$из$S$с$t(a)=t_0$определить конфигурационное пространство системы в$t=t_0$. Это вложенное подмногообразие$S$(и, таким образом,$\mathbb R^{3N+1}$) с размером$n$.

ЗАМЕЧАНИЕ . Можно доказать (снова используя упомянутую теорему), что$n$координаты$q_k$всегда можно выбрать так, чтобы он совпадал с$n$компонентов$x_{ij}$. Остальные координаты являются функциями$t$и$q_k$через функции той же регулярности ($C^2$в нашем случае) как у функций$f_j$.

С$t,q_1,\ldots, q_n$— свободные координаты для описания системы, мы можем записать$N$вектор оценивается$C^2$функции:

$${\vec r}_i= {\vec r}_i(t,q_1,\ldots,q_n)\quad i=1,\ldots, N \tag{2}$$ Нетрудно доказать, что в силу сделанного выше замечания векторы $$\frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_k}$$ должны быть линейно независимыми. Они образуют базис касательного пространства в каждой точке подмногообразия $S_t$.

Координаты$q_1,\ldots, q_n$те, которые используются для описания движения системы. Каждое движение определяется кривой$\mathbb R \ni t \mapsto (q_1(t),\ldots, q_n(t))$. Тогда движение в физическом пространстве получается только с использованием (2),

$$\mathbb R \ni t \mapsto \vec{r}_i(t, q_1(t),\ldots, q_n(t))\:,\quad i=1, \ldots, N \tag{3}\:.$$ Глядя на (3), должно быть очевидно, что скорость точки, определяемая $\vec{r}_i$в отношении $\cal I$дан кем-то $$\vec{v}_i(t) = \frac{d\vec{r}_i}{dt} = \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial t} +\sum_{k=1}^n \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_k} \dot{q}_k\quad\mbox{with}\quad \dot{q}_k := \frac{dq_k}{dt}\:.$$