Как понять определение вектора и тензора?

Есть две математические концепции, которые называются векторами. Первый, вектор из линейного векторного пространства - это базовый "многокомпонентный объект", о котором вы, кажется, в основном говорите. Второе понятие вектора — это член так называемого «касательного расслоения» многообразия. Второе понятие определяется эквивалентно физическому вектору.

---

Математическое линейное векторное пространство

Математическое линейное векторное пространство просто относится к любому объекту, который можно складывать, умножать,... но он может быть больше, чем просто число (т.е. иметь больше компонентов). Ваш математический вектор может быть, например, «коллекцией фруктов», в основе которого лежат одно яблоко и один апельсин. Вы можете иметь два яблока и 3 с половиной апельсина, представленных вектором$(2,3.5)$. Вы можете удвоить свою коллекцию фруктов$2\cdot(2,3.5)=(4,7)$, или вы можете добавить свою коллекцию фруктов в коллекцию фруктов друзей$A$яблоки и$O$апельсины$(2,3.5)+(A,O) = (2+A,3.5+O)$. Вы даже можете попасть в «долг за фрукты», одалживая и съедая фрукты, и иметь негативные коллекции фруктов. Это идеальное математическое линейное векторное пространство.

Вы можете обнаружить, что, например, некоторые виды функций охватывают бесконечномерное линейное векторное пространство со значениями функции, действующими как компоненты$V_i \to V_x = V(x)$. Еще раз вы можете даже определить «точечный продукт», суммируя бесконечные компоненты.$\vec{V}\cdot \vec{W} = \sum_i V_i W_i \to \int V(x) W(x)$. И так далее. Это было просто для того, чтобы показать, что математическое линейное векторное пространство является меткой для очень общих объектов, выходящих далеко за пределы физического вектора в трехмерном пространстве.

---

Физический вектор

Мы говорим о векторе в евклидовом пространстве, не различая, где он «живет». Когда мы рисуем стрелку, скажем, вектора скорости в трехмерном пространстве, имеем ли мы в виду, что кончик стрелки действительно касается точки в пространстве, где он заканчивается? Конечно, нет, это было бы верно только для вектора расстояния.

Теперь мы должны провести линию между объектами, которые в физике мы называем векторами. Один вид - это векторы расстояния, которые не преобразуются как вектор, если они не указывают из начала координат, и "полярные" векторы, реальные физические векторы. Эти полярные векторы включают: скорость, силу, ускорение и электрическую напряженность. (Векторные произведения «аксиальных» и полярных векторов также являются полярными векторами.)

Мы знаем, как точки в пространстве трансформируются при преобразованиях координат, и вектор скорости на самом деле является касательной к двум бесконечно близким точкам в пространстве. Из этого факта мы можем вывести, как трансформируется скорость - точки трансформируются согласно преобразованию координат, а вектор скорости трансформируется согласно разности преобразования в бесконечно близких точках - матрица Якоби . Можно показать, что это верно и для вектора ускорения.

Теперь мы хотим сформулировать уравнения для скоростей и ускорений — необходимо, чтобы эти уравнения давали нам одинаковые результаты независимо от того, как мы описываем ситуацию. Таким образом, мы требуем, чтобы все остальные члены уравнения преобразовывались так же, как скорость/ускорение при преобразовании координат. Вы, вероятно, уже знаете это как принцип ковариации . Это единственная мотивация определения «истинного физического вектора».

Однако при рассмотрении новой физической величины мы не можем просто определить ее как ковариантную со скоростью — мы должны явно показать, что объект последовательно трансформируется таким образом благодаря физическим аргументам. По этой причине физики обычно дают простое техническое определение вектора путем преобразования, потому что во многих случаях это наиболее практичная формулировка для реальных вычислений.

---

Физический тензор

Физические тензоры возникают в основном в контексте механики сплошных сред. Скажем, мы хотим проследить не эволюцию одной точки, а бесконечно малую деформацию бесконечно малого куба. Для этого нам нужны три вектора, показывающие деформацию каждого ребра куба (всего 9 компонентов), что делает его «вектором векторов».

Интуитивно понятно, что каждый из этих трех векторов деформации, демонстрирующий бесконечно малую деформацию, преобразуется с помощью матрицы Якоби. Однако эти векторы не являются независимыми - скажем, куб поворачивается на угол - тогда 3 вектора деформации смешиваются, и для бесконечно малого куба это снова выполняется матрицей Якоби. То есть мы умножаем каждый вектор «вектора векторов» на якобиан, а затем также смешиваем их вместе, умножая весь «вектор векторов» на якобиан.

В общем, концепция векторов и тензоров связана с линеаризацией или дифференциальной локализацией данного физического факта, всегда приводящей к преобразованиям через матрицу Якоби. Это нетривиальное утверждение классической физики говорит нам, что посредством описания этих линеаризаций мы можем описать поведение целого.

---

Касательные пространства и живущие в них векторы

Упомянутые физические идеи можно прямо согласовать с некоторыми математическими. Самый интуитивный способ понять, почему векторы не живут в том же пространстве, что и физические точки, — изобразить искривленную поверхность с траекторией на ней. Вектор скорости траектории обычно указывает «вне» поверхности. Тем не менее, все возможные векторы скорости в данной точке охватывают только двумерную поверхность, которая касается криволинейной поверхности в этой точке.

Математики берут это понятие и определяют касательное многообразие в каждой точке пространства как пространство касательных векторов к траекториям в данной точке (они делают это с хитрым приемом, который делает термин «касательным к траектории» хорошо определенным). Затем можно показать, что касательные к траекториям снова преобразуются с помощью матрицы Якоби и охватывают математическое линейное векторное пространство в каждой точке. Когда мы берем весь ансамбль «касательных поверхностей» или касательных многообразий, мы получаем то, что называем касательным расслоением.

Таким образом, физические векторы на самом деле живут в этих касательных многообразиях, прикрепленных к каждой точке пространства, а не в самом пространстве. Тензоры также можно очень легко обобщить как «векторы векторов», живущие в «касательных многообразиях, умноженных на касательные многообразия».

Совпадение структуры плоского пространства и плоского касательного многообразия приводит к более или менее безобидной путанице, но это необходимо разрешить, когда мы движемся в искривленном пространстве (времени).

Позвольте мне начать с тавтологии: векторы — это геометрические объекты, живущие в векторном пространстве. XD Пока это ничего не говорит, но у нас всегда был мысленный образ вектора в виде стрелы.

Немного углубившись в абстракцию (все еще со стрелкой, представляющей вектор), можно найти набор преобразований векторов, который сохраняет свойства векторов, например, в$\mathbb{R}^3$повороты сохраняют свойства векторов${}^*$, включая их норму. Математически выраженный${}^\dagger$,

$$\vec{V}\to \vec{V}^\prime = \mathbf{R}\vec{V}.$$

Итак, вектор преобразуется однородно , т. е. для каждого вектора есть преобразование, но нет дополнительных членов.

Теперь представьте, что у вас есть две копии векторных пространств... и вы как бы соединяете их вместе , например, начинаете с$\mathbf{V}$и создайте операцию соединения, чтобы получить эту новую вещь (позвольте мне назвать это)$\mathbf{V}\otimes\mathbf{V}$.

Эта конструкция определена таким образом, что если я хочу повернуть векторы... я обязательно поверну оба пространства (потому что они являются копиями первого). Итак, если я позвоню$\mathbf{T}\in\mathbf{V}\otimes\mathbf{V}$элемент в этом новом векторном пространстве, он преобразуется (при тех же преобразованиях вектора), что и

$$\mathbf{T}\to \mathbf{T}^\prime = \left(\mathbf{R}\otimes\mathbf{R}\right)\mathbf{T},$$ где первое вращение действует на первую копию $\mathbf{V}$и то же самое для второго. Мораль: $\mathbf{T}$преобразование однородно, но с двумя ожидаемыми преобразованиями вектора.

Можно всю жизнь строить все больше и больше новых пространств векторов, рассматривая все больше и больше копий векторов.$\mathbf{V}$.

Тензоры... Как они определяются?

Ингредиенты:

• Набор (геометрических) объектов.
• Поле (действительные или комплексные числа в порядке)
• Операция «масштабирования» (умножения) между элементами поля (числами) и нашими геометрическими объектами,$\cdot:\mathbb{K}\times \mathbf{V}\to\mathbf{V}$.
• Оператор сложения среди наших геометрических объектов,$+:\mathbf{V}\to\mathbf{V}$.

Пока вышеизложенное определяет ваши векторы (или векторное пространство). Но, как и прежде, вы можете предоставить группу преобразований,$G$, который сохраняет желаемые свойства ваших векторов,${}^{\dagger\dagger}$и

$$\vec{V}\to \vec{V}^\prime = \Lambda\vec{V},\quad \text{for } \Lambda\in G.$$

Поэтому говорят, что наши объекты на самом деле являются векторами относительно группы преобразований$G$. Итак, группа трансформации должна быть включена в список ингредиентов.

• Группа преобразований$G$.

ТЕНЗОРЫ

Тензор (расширение предыдущей конструкции) — это геометрический объект, который под группой $G$однородно трансформируется,

$$\mathbf{T} \to \mathbf{T}^\prime = \Lambda\;\cdots\Lambda \mathbf{T}.$$

Количество элементов преобразования определяет ранг тензора.

ПРИМЕЧАНИЕ 1. Вектор — это тензор первого ранга!

ПРИМЕЧАНИЕ 2. Поскольку тензоры определяются в группе преобразований, тензор в группе может не быть тензором (или, по крайней мере, тензором того же типа) в другой группе.

Нужны ли нам все возможные системы координат и преобразования для определения векторного пространства или только некоторые из них?

Из всего вышесказанного можно сделать вывод, что нужна ОДНА система координат, и группа преобразований. Сразу же рассматривается любая другая система координат, связанная с предыдущей.

( обратите внимание, что я не понял вашего последнего сомнения, поэтому я заканчиваю его здесь!)

---

${}^*$Преобразование координат - еще одна допустимая группа преобразований.

${}^\dagger$ $\mathbf{R}$представляет преобразование вращения.

${}^{\dagger\dagger}$Множество преобразований не обязательно является вращением.

Математически идея вектора первична. Вы можете определить объекты, которые удовлетворяют всем свойствам векторного пространства , не обращаясь к компонентам или чему-либо еще.

Из понятия вектора можно вывести, что существует максимальное количество линейно независимых векторов, и любой вектор в вашем векторном пространстве может быть однозначно представлен линейной комбинацией этих базисных векторов . Затем вы представляете вектор как массив коэффициентов этой линейной комбинации.

Поскольку эти компоненты кодируют более абстрактный объект, они действительно должны измениться в соответствии с некоторыми правилами, если вы выберете другой набор базисных векторов .

В школах и на вводных уроках физики обычно пропускают более абстрактные шаги, чтобы прийти к вышеуказанным выводам. Один просто определяет векторы как набор коэффициентов в евклидовом$R^3$пространстве, которые ведут себя определенным образом при вращении. Это оказывается эквивалентным более строгому определению в самых простых приложениях, и у него есть преимущество, заключающееся в том, что оно очень близко - вы действительно можете представить вектор и его поведение при изменении базиса.

Кроме того, этот подход не требует много абстрактного мышления, и с его помощью уже можно решить большинство задач классической механики. Таким образом, в школах или инженерных классах уточнение концепции практически не требуется. Физики в любом случае узнают более абстрактный способ работы с векторами, как только вы начнете изучать квантовую механику.

Таким образом, математический подход заключается в абстрактном определении векторов, а затем получении всех известных нам свойств, в то время как физический подход заключается в определении вектора через его свойства и изучении дальнейших отношений только тогда, когда вам действительно нужно расширить структуру.

Как определить понятие базиса и преобразования координат, не завершая само понятие вектора?

Мы не можем. Базы относятся к векторам как$0$и$1$относятся к натуральным числам (как в аксиомах Пеано ). Мы можем начать с$0$, или$1$, или даже$376$, но нам нужно с чего-то начать.
Без базисных векторов мы не можем определить векторное пространство (и, следовательно, преобразование координат) и, следовательно, не можем определить какой-либо другой вектор или тензор. Проверьте этот вопрос и ответьте .

Представляют ли эти (базы) системы отсчета?

Да, базы представляют системы отсчета.

Нужны ли нам все возможные системы координат и преобразования для определения векторного пространства или только некоторые из них?

Чтобы определить и измерить скаляр или вектор (или тензор), нам нужна хотя бы одна система координат, и этого достаточно.

Вектор/тензор — это присвоение массива чисел каждому базису, и эти массивы связаны друг с другом преобразованиями координат.

Хотя это и не формальный способ определения вектора/тензора, это правильно. Вектор или тензор представляет собой набор (массив) оснований, и хотя этот набор различен в разных системах координат, для одного и того же вектора или тензора эти наборы связаны друг с другом преобразованиями координат.

---

Ниже приведена попытка прояснить последний пункт выше и необходимость преобразований координат , начиная с примера скаляра.

Если я измерю$6m$длинный шест с моей линейкой (основой) то есть$2m$в длину моя мера будет$3$единицы измерения.
Другой выбор базиса (в другой системе) может быть$1m$длинная линейка, и тогда длина шеста будет$6$единицы измерения.

Реальная длина полюса — скалярный инвариант — остается неизменной, а ее мера в разных системах отсчета (с использованием разных базисов) различна. И у нас могут быть правила преобразования между разными кадрами, так что, зная меру в одной системе координат, мы можем вычислить ее в другой, фактически не выполняя измерения. Также обратите внимание, что длина полюса в любом кадре представляет собой набор его оснований (определяемых скалярным сложением) .

Аналогично, для векторов$1$но$3$базы. И вектор представляет собой набор этих$3$bases , однако, на этот раз определяется не скалярным, а как скалярным, так и векторным сложением . И хотя эти основания могут различаться в разных системах координат, вектор остается неизменным . У нас есть правила преобразования между различными системами координат.

---

Три основания в векторном пространстве дают нам$3$компоненты для любого вектора. В случае векторов этот набор из 3-х оснований можно визуализировать как единое целое, применяя сложение векторов. Но$3$основания также могут комбинироваться друг с другом любым количеством способов, давая более чем$3$компоненты, причем эти компоненты не подчиняются правилам сложения векторов. Кроме того, мы можем иметь более$3$базы. Вот как мы получаем тензоры.

Пока мы вынуждены комбинировать основания только в соответствии со скалярным или векторным сложением, любое количество оснований даст нам вектор, в противном случае — тензор.

Сущность, обозначаемая сочетанием баз разными способами — тензор — остается инвариантной , и это ограничение дает нам правила преобразования между разными системами координат (имеющими разные базы).

Наконец, любую комбинацию (или набор) оснований, которая не следует скалярному или векторному сложению, нельзя визуализировать, и, следовательно, мы не можем воспринимать тензоры как единую связную физическую сущность. Но как с точки зрения физики, так и с точки зрения математики они представляют собой такое же единое целое, как скаляры и векторы.