Первое уравнение Картана
куда является ортонормированным базисом, это кручение и является спиновой связью. В Мизнере, Торне и Уиллере, а также в нескольких лекциях по общей теории относительности, которые я видел с использованием формализма Картана, они предполагают чтобы затем использовать первое уравнение для определения соединений.
Почему в общей теории относительности справедливо предположить, что кручение равно нулю?
В стандартных формулировках общей теории относительности это просто предположение теории, разработанное таким образом, чтобы аффинные геодезические, заданные связностью, соответствовали метрическим геодезическим, заданным экстремумом пространственно-временного интервала.
Связность Леви-Чевита является единственной связностью, которая не имеет кручения и совместима с метрикой, но для ОТО необходимо только допущение отсутствия кручения. Через действие Палатини, заданное лагранжианом симметричности коэффициентов связи достаточно, чтобы вывести, что они обязательно
Физически предположение об отсутствии кручения позволяет метрике взять на себя роль потенциала для «гравитационного поля» коэффициентов связи.
Но, в конце концов, это всего лишь предположение теории; если вы не принимаете его, вы занимаетесь чем-то другим, например, теорией Эйнштейна-Картана или телепараллельной гравитацией . Интересно, что Эйнштейн говорил о взаимосвязи между соединением и метрикой примерно в то время, когда он работал над телепараллелизмом:
... существенное достижение общей теории относительности, а именно преодоление «жесткого» пространства (т. е. инерциальной системы отсчета), лишь косвенно связано с введением римановой метрики. Непосредственно относящимся к делу концептуальным элементом является «поле смещения» ( ), который выражает бесконечно малое смещение векторов. ... Это позволяет строить тензоры дифференцированием и, следовательно, обходиться без введения «жесткого» пространства (инерциальной системы отсчета). Перед лицом этого кажется второстепенным в каком-то смысле, что какой-то конкретный поле можно вывести из римановой метрики...
Есть (по крайней мере) два подхода к кручению в геометрической структуре общей теории относительности:
Во-первых, мы можем использовать его для кодирования новой степени свободы теории: связи спина с гравитационным полем. Это теория Эйнштейна-Картана , которая (насколько мне известно) не подтверждается и не исключается данными наблюдений.
Во-вторых, мы можем использовать его для кодирования существующих гравитационных степеней свободы. Между кривизной и кручением существует своего рода калибровочная симметрия . Измерив кручение за 0, мы получим общую теорию относительности, тогда как зафиксировав кривизну за 0, мы получим ее телепараллельный эквивалент.
Джинави
Qмеханик