Почему перенормированная теория возмущений работает?

Перенормировка всегда необходима, когда гамильтониан сингулярен. Сингулярность означает, что формальное выражение для гамильтониана, полученное в результате указанного взаимодействия, не является самосопряженным оператором в плотной области. Тогда динамика формально плохо определена и должна быть перенормирована, позаботившись о том, чтобы правильно представить все как предел, который имеет смысл.

В частности, это всегда имеет место во взаимодействующих релятивистских квантовых теориях поля в 3-х или 4-х пространственно-временных измерениях.

Чтобы понять, почему и как работает перенормировка, можно сначала рассмотреть более простые ситуации в квантовой механике. В этом случае существуют явно разрешимые игрушечные модели (сингулярные возмущения низкого ранга простых разрешимых систем), в которых можно точно увидеть, что происходит и почему. Смотрите мою статью Перенормировка без бесконечностей — туториал , где это подробно рассматривается.

О том, как (и можно ли) сказать, будут ли члены асимптотического ряда малы, см. обсуждение в главе B5: Расходимости и перенормировка моего FAQ по теоретической физике .

Прежде чем я попытаюсь ответить на ваш вопрос, одно:

Райдер действительно рассчитывает$\mathcal{O}(\lambda^2)$к пропагатору как первый вклад в теорию возмущений, потому что на самом деле$\mathcal{O}(\lambda^1)$к распространителю и$\mathcal{O}(\lambda^2)$-петля, насколько я понимаю, представляет собой двухпетлевую диаграмму, т. е. имеющую два петлевых импульса, которую на самом деле трудно разработать в качестве первого примера для введения процедуры перенормировки. Но, если честно, это$\mathcal{O}(\lambda^1)$-вклад не приводит к какой-либо перенормировке массы, так что вы не многому из этого научитесь, но я не уверен, упоминал ли об этом Райдер.

Но позвольте мне попытаться ответить на ваш вопрос с несколько иной точки зрения:

Суть перенормировки в том, что вы видите, что ваши интегралы по петлям расходятся, поэтому вы накладываете отсечку по импульсу.$\Lambda$, имея в виду мотивацию, что теория имеет лишь ограниченный диапазон достоверности. И как вы уже упоминали, результат будет потом зависеть от этой отсечки, поэтому вы "прячете" зависимость от отсечки в переопределении параметров (масс и связей) вашей теории. Аргумент состоит в том, что параметры, которые вы пишете в лагранжиане (скажем,$\lambda_0$а также$m_0$) не имеют физического смысла, но измеряемые экспериментальным путем параметры ($\lambda$а также$m$) есть и они смещены. Так что до этого момента правильно говорить, что параметры зависят от отсечки, но проблема, о которой вы говорите, не возникает.

Поясню это на следующем примере: для$\phi$-propagator (функция Грина) вы получаете некоторую модификацию из-за петлевого интеграла$\Pi(p^2;\Lambda)$:

$$\frac{i}{p^2-m^2+i\epsilon} \quad\to\quad \frac{i}{p^2-m^2-\Pi(p^2;\Lambda)+i\epsilon}$$ где вы можете интерпретировать термин $m^2 + \Pi(p^2;\Lambda)$как эффективное $m_\mathrm{eff}^2$пропагандиста. (В форме пропагатора, включая петли, это более или менее геометрический ряд свободных вставок пропагатора и лоппа) Чтобы продолжить, теперь необходимо объявить, как вы определяете свой параметр (в данном случае масса $m$) путем наложения некоторого условия перенормировки. Так, например, конкретный выбор заключается в том, что вы говорите, что для $p^2 = m^2$ $m_\mathrm{eff}^2 = m^2$или же $\Pi(p^2=m^2;\Lambda) = 0$. Но даже в этом случае вы увидите $\Lambda$-зависимый термин в $\Pi(p^2;\Lambda)$Чтобы избавиться от этого, переопределите интеграл цикла как $$\Pi(p^2;\Lambda) \quad\to\quad \overline{\Pi}(p^2) = \lim_{\Lambda\to\infty} \left( \Pi(p^2;\Lambda) - \Pi(p^2=m^2;\Lambda) \right)$$

Лимит$\Lambda\to\infty$можно сделать, потому что вы вычитаете более или менее расходящуюся часть интеграла петли. И это важный момент: вы не только говорите, что переопределяете свои параметры в зависимости от отсечки, но и накладываете условие перенормировки, которое в конце концов приводит к$\Lambda$-независимая величина.

Многие трудности перенормировки проясняются, если использовать точку зрения «Репараметризации теории».

Позвольте мне проиллюстрировать, что я имею в виду:

Если кто-то наивно получает квантовую теорию поля из классической теории поля с помощью процедуры квантования, он получает нереалистичные результаты для измеримых величин. Это не должно удивлять: почему классические параметры нашей теории должны быть правильными для нашей квантовой теории поля?

Итак, мы хотим перепараметризировать нашу теорию так, чтобы конечные новые параметры давали реалистичные результаты.

Рассмотрим плотность Лагранжа$\mathcal{L} = \frac{1}{2} A \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi + \frac{1}{2} B^2 \phi^2 + \frac{1}{4!} C \phi^4$.

Теперь измеряемые величины соответствующей квантовой теории поля будут зависеть от этих параметров, например

• "физическая масса" = полюс пропагатора = P(A,B,C)

• «Перенормировка волновой функции» = остаток пропагатора = Z (A, B, C)

• «4-точечная вершина в некоторых мандельштамах» = G (A, B, C)

Теперь мы хотим инвертировать эти функции, чтобы получить новую параметризацию A(P,Z,G), B(P,Z,G), C(P,Z,G). Поскольку P, Z, G измеримы в эксперименте, они должны быть конечными и должны быть хорошей параметризацией нашей квантовой теории поля.

Теперь сначала рассмотрим непертурбативный контекст: здесь мы должны иметь возможность инвертировать P, Z, G точно для получения репараметризации, в которой наши измеряемые величины, как мы надеемся, конечны.

В пертурбативном контексте мы можем вычислить P, Z, G до порядка, скажем, N. Тогда «условия перенормировки» (которые являются скорее «условиями перепараметризации») определяют другую перепараметризацию для каждого порядка N. Если мы перенормируем до порядка N, то мы выбрали репараметризацию, которая делает все конечным до порядка N. Может быть, эта репараметризация также сделает вещи конечными в более высоком порядке, а может и нет.

Nota Bene: такие вещи, как MS или MS-bar, просто определяют различные условия перенормировки/репараметризации, а именно неявно через контрчлены, поскольку каждая схема вычитания определяет структуру контрчленов, а структура контрчленов определяет репараметризацию.

PS: В приведенной выше номенклатуре обычно выбирают условие репараметризации Z(A,B,C) = 1.

PPS: Этот пост больше иллюстрация, чем реальная строгая аргументация. Но все, что я сказал, можно сделать более строгим.

Хитрость заключается во введении шкалы перенормировок.

После регуляризации теории возмущений можно получить зависящее от импульса (и отсечения) взаимодействие (схематической) формы в 4D

$$\lambda(p)=\lambda_0+\alpha\lambda_0^2 \ln(\Lambda^2/p^2),$$ куда $\lambda_0$является голым взаимодействием, и $\alpha$некоторые числовые факторы.

Что нужно сделать, так это зафиксировать значение взаимодействия при данной энергии$p^2=\mu^2$, такой, что$\lambda(\mu)\ll 1$. Выражение$\lambda(p)$с точки зрения$\lambda (\mu)$один получает

$$\lambda(p)=\lambda(\mu)+\alpha \lambda(\mu)^2\ln(\mu^2/p^2),$$ что действительно является хорошей теорией возмущений.

Обратите внимание, что эта теория возмущений хорошо работает только для энергий, достаточно близких к$\mu$, и что точка отсчета$\lambda(\mu)$должно быть дано экспериментами или более фундаментальной теорией.

Я хотел бы подчеркнуть разницу между

1) Пертурбативная перенормировка

2) Непертурбативная перенормировка

Под пертурбативной перенормировкой я имею в виду удаление бесконечностей из вычисления коррелятора/амплитуды, порядок за порядком . Это делается введением контрчленов, т. е. переписыванием затравочных параметров лагранжиана в виде$\lambda_{Bare} = \lambda_{obs} + \delta \lambda$, выбирая схему регуляризации с ее «отсечной» шкалой$\Lambda$, и наложение значения (возможно конечного числа) корреляторов/амплитуд. Вы должны фактически измерить эти значения, чтобы установить их - вы не можете вычислить их из теории. С точки зрения этих параметров любой другой коррелятор/амплитуда может быть вычислен с получением конечного результата, независимо от того, насколько высокий порядок вы получите.

Почему это работает, можно объяснить либо с помощью сложного диаграммного анализа, либо с помощью подхода с плавающей отсечкой а-ля Уилсон.

Теперь обратимся ко второму пункту.

После того, как вы решили первую проблему (сделать конечными величины по порядку) и начали вычислять корреляторы/амплитуды, вы обнаружите, что (теперь конечные) результаты включают «большие логарифмы», такие как$log(m/m_0)$куда$m_0$- шкала перенормировки, т. е. типичная шкала измеряемых и накладываемых величин, которые могут быть, например, корреляторами/амплитудами, включающими поля/частицы с аналогичной общей шкалой энергии, и$m$- типичный масштаб коррелятора/амплитуды, которую вы хотите вычислить. Это проблема, потому что, даже если вычисляемые вами величины конечны в каждом порядке, вы не можете пренебрегать более высокими порядками, которые включают все больше и больше этих «больших логарифмов».

Решение этой проблемы заключается в сглаживании перехода от шкалы перенормировки к интересующей шкале, т. е. переходе от$m_0$в масштабе$m'_0 = m_0 + \delta m$(теперь логарифмы маленькие), и отсюда до$m'_0 + \delta_m$и так далее, пока не дойдете до$m$. Эта процедура «сглаживания» представляет собой поток ренормализационной группы, и ее можно рассматривать как расширение корреляторов/амплитуд не с точки зрения$\lambda_{Bare}$или же$\lambda_{obs}$а скорее константы связи, которые зависят (или работают) от масштаба$m$наблюдаемых, которые вы хотите вычислить.

Теперь, если этот ход таков, что константы связи остаются малыми, тогда пертурбативное разложение останется в силе, и, следовательно, выполняется «пертурбативная перенормировка», в противном случае необходимо разработать другую технику, чтобы получить количественные предсказания из вашей теории.

Чтобы понять, почему перенормировка может работать, вы можете сначала рассмотреть более простые ситуации в классической/квантовой механике. В этом случае существуют явно решаемые игрушечные модели, в которых можно точно увидеть, что происходит и почему. См. мою статью « Игрушечная модель перенормировки и переформулировки » на arXiv.

О том, как справиться с растущими сроками, смотрите мою короткую заметку здесь .