Ренормализационная группа и суммирование диаграмм

Нет никакого смысла, в котором дополнительные члены, полученные с помощью ренормализационной группы, соответствуют какому-либо конкретному подмножеству диаграмм Фейнмана. Как вы уже отмечали, для$\phi^4$теории, неправда, что вы просто суммируете "пузырьковые" диаграммы; нужно рассчитать все поправки, и тогда эти поправки будут содержать правильные$\log^2(p/\mu)$зависимость, предсказанная расширением вашей эффективной связи, но будет содержать и другие члены.

Аргумент, что вы можете предсказать форму этих терминов более высокого порядка, может звучать следующим образом, используя размерную регуляризацию. При первом заказе в$\phi^4$теория, вы получаете

$$\Gamma^{(4)}(p) = \mu^{\epsilon} u_0 \left\{ 1 - \frac{3 u_0}{16 \pi^2 \epsilon} \left[ 1 + \epsilon \log(p/\mu) \right] + \cdots \right\}.$$ Вот, я беру$\Gamma^{(4)}(k_i)$быть четырехточечной функцией, определенной полным импульсом$p$протекающий через него. Пропущенные члены в многоточии не зависят от импульса и конечны для$\epsilon \rightarrow 0$.

В этот момент вводится перенормированная связь, чтобы вычесть расходящийся член,

$$u_0 = u \left( 1 + \frac{3 u}{16 \pi^2 \epsilon} \right),$$ и этого достаточно, чтобы перенормировать корреляционную функцию к$O(u^{2})$.

Как мы можем использовать этот результат для получения информации о вкладах более высокого порядка? Ну, мы уже можем прочитать конкретный$O(u^3)$вклад только от того, что мы заметили, что у нас будет термин

$$\Gamma^{(4)} \supset \frac{18 u^3}{(16 \pi^2) \epsilon} \log(p/\mu)$$ исходя из контртермина для$u_0$определено выше. Такой член изначально очень беспокоит, потому что это расхождение, зависящее от импульса - мы не можем вычесть его, используя контрчлены! Следовательно, чтобы теория имела смысл, должно быть, что соответствующее расхождение с идентичной зависимостью от импульса возникнет в двухпетлевой системе, чтобы компенсировать это. Конечно, в рамках размерной регуляризации$log(p/\mu)$зависимость всегда возникает из-за расширения функции типа$(p/\mu)^{\epsilon}$. В частности, указанное выше расхождение должно исходить от такого термина, как $$-\frac{18 u^3}{(16 \pi^2) \epsilon^2} (p/\mu)^{\epsilon} = -\frac{18 u^3}{(16 \pi^2) \epsilon^2} - \frac{18 u^3}{(16 \pi^2) \epsilon} \log(p/\mu) - \frac{9 u^3}{(16 \pi^2)} \log^2(p/\mu)$$ Следовательно, если этот член появляется в двухпетлевом (а это необходимо для того, чтобы эта схема перенормировки имела смысл), отсюда следует, что также требуется$- \frac{9 u^3}{(16 \pi^2)} \log^2(p/\mu)$срок. Но в данном конкретном случае терм порождается несколькими (всеми?) двухпетлевыми диаграммами, которые, в свою очередь, вносят и другие термы, о которых однопетлевая РГ не знает.