Позволять быть пространством-временем и рассмотреть пространство решений уравнения Клейна-Гордона, снабженное скалярным произведением:
Позволять быть полным набором решений на этом пространстве и времениподобное векторное поле Киллинга на .
Если бы я правильно понял (а мог бы и не понять), в своей книге «Пространство-время и геометрия» Шон Кэрролл говорит, что является положительным частотным решением уравнения КГ, если существует такой, что
и это решение с отрицательной частотой, если
Итак, зачем нужно поле смерти, чтобы судить об этом? Почему этого нельзя сделать с произвольным времениподобным векторным полем?
Производная Ли функция есть просто производная по направлению от функции вдоль интегральных линий поля.
Почему это условие говорит о том, что функция является положительной или отрицательной частотой, и зачем нам поле Киллинга?
Редактировать : я знаю, что поле Киллинга является генератором изометрий, так что метрический тензор постоянен вдоль его потока. Тем не менее, я действительно не понимаю, почему для определения положительных/отрицательных частотных решений нам нужно поле Киллинга, а не просто времяподобное поле. Я не понимаю, почему должна быть задействована какая-либо симметрия пространства-времени.
Фактически времяподобное направленное в будущее векторное поле определяет семейство наблюдателей и является системой отсчета. Я думал, что этого достаточно, чтобы определить положительную/отрицательную частоту: это то, что видит эта система отсчета. Честно говоря, я не знаю, где в игру вступает часть убийства.
Векторное поле Киллинга необходимо для того, чтобы хорошо определить состояние вакуума.
Точнее, положительное и отрицательное частотные решения имеют смысл, если пространство-время имеет глобальное времяподобное векторное поле Киллинга (оно стационарно). Если глобально времениподобна, можно найти систему координат, в которой метрика не зависит от времени и принимает форму и уравнение принимает форму
Теперь, согласно теореме Нётер, энергия сохраняется, и, поскольку у человека есть четкое определение сохраняющейся энергии, можно хорошо определить состояние минимальной энергии, вакуум.
Таким образом, наличие глобального времениподобного вектора Киллинга гарантирует, что ваше вакуумное состояние останется вакуумным по мере развития времени. Если бы у вас был не вектор Киллинга, а некоторый времениподобный вектор, то состояние вакуума не эволюционировало бы в то же состояние вакуума.
Значение векторного поля Киллинга, , заключается в том, что это указывает на наличие пространственно-временной симметрии. т. е. это «изометрия», что означает симметрию метрики: . Следовательно, определение частоты относительно времениподобного векторного поля Киллинга дает нам понятие частоты, связанное с симметрией самого пространства-времени.
Вы могли бы, конечно, вместо этого выбрать произвольное времяподобное векторное поле, но этот выбор был бы, ну, в общем, произвольным и не имел бы никакого отношения к базовой структуре пространства-времени. С таким произвольным выбором вы бы определили «частоту» таким образом, который может не иметь естественного отношения к чьему-либо произвольному определению. Определяя его относительно симметрии пространства-времени, мы выбрали определение, которое не является полностью произвольным.
Возможно релевантные комментарии к векторным полям убийства:
В Приложении B к книге Кэрролла он описывает, как всегда можно выбрать такие координаты, что одна из координат (скажем, -координата) лежит вдоль интегральных кривых векторного поля Киллинга, . В таких координатах производная Ли тензорного поля принимает особенно простой вид:
Теперь определение векторного поля Киллинга подразумевает, что в этих координатах есть
Таким образом, мы обнаруживаем, что наличие векторного поля Киллинга позволяет нам всегда выбирать координаты так, чтобы метрика не зависела от координаты, связанной с симметрией.
Qмеханик
пользователь143410