Что именно мы подразумеваем под симметрией в физике?

Я имею в виду здесь инвариантность лагранжиана относительно преобразований Лоренца.

Есть две возможности:

  • Физика не зависит от того, как мы ее описываем (пассивная симметрия). Мы можем выбрать любую инерциальную систему отсчета для описания физической системы. Например, мы можем выбрать время начала т 0 знак равно 0 или же т 0 знак равно 4 (связаны переводом во времени т → т ′ знак равно т + а 0 ). Точно так же не имеет значения, где мы поместим начало нашей системы координат (связанное перемещением в пространстве Икс я → Икс я ′ знак равно Икс я + а я )) или если мы используем левую или правую систему координат (связанную преобразованием четности). Физика должна быть независима от такого выбора, и поэтому мы требуем, чтобы лагранжиан был инвариантным относительно соответствующих преобразований.
  • Физика везде и всегда одинакова (активная симметрия). Другая точка зрения заключается в том, что трансляционная инвариантность во времени и пространстве означает, что физика одинакова во всей вселенной в любое время. Если наши уравнения инвариантны относительно временных сдвигов, то законы физики были одинаковыми. 50 лет назад и будет завтра. Уравнения, инвариантные относительно пространственного переноса, выполняются в любом месте. Кроме того, если данный лагранжиан инвариантен относительно преобразований четности, любой эксперимент, результат которого зависит от этого лагранжиана, дает те же результаты, что и эквивалентный зеркальный эксперимент. Основное допущение специальной теории относительности состоит в том, что наша Вселенная однородна и изотропна, и я думаю, что именно из этого может исходить обоснование этих активных симметрий.

Первую возможность действительно легко принять, и я некоторое время думал, что именно поэтому мы требуем, чтобы физика была инвариантна к трансляции и т. д. Тем не менее, у нас есть нарушение четности. Это должно быть реальным явлением, т.е. не может означать, что физика отличается, если мы наблюдаем ее в зеркале. Поэтому, когда мы проверяем, является ли данный лагранжиан инвариантным относительно четности, мы должны преобразовать его активным преобразованием, а не только изменить наш способ описания вещей.

Что мы на самом деле подразумеваем под симметриями лагранжиана? Какой вариант правильный и почему? Любая ссылка на хорошее обсуждение этих вопросов в книге или аналогичным образом была бы потрясающей!

Это, очевидно, не отвечает на ваш вопрос (который слишком философский для меня, чтобы понять), но вот интересный момент. Симметрии уравнений вообще НЕ применимы к его отдельным решениям (только к множеству всех решений). Это то, что физики обычно называют нарушением симметрии, и это вызывает путаницу. Например, возьмем классическую частицу, распространяющуюся в пространстве-времени Минковского. Решение (траектория частицы), очевидно, не является лоренц-инвариантным (существует специальная система отсчета), несмотря на то, что все уравнения лоренц-инвариантны.
см. этот ответ physics.stackexchange.com/q/158398

Ответы (3)

Я могу ошибаться в этом, но, несмотря на сходство, эти две вещи, которые вы описываете, я думаю, сильно различаются.

Ваш первый пункт связан с так называемой «общей ковариацией». Это то, что действует все время. Вы нигде не видите какой-либо координатной сетки, когда смотрите за окно, и вы не видите никакой пространственной или временной точки, обозначенной как «начальная точка» (игнорируя такие вещи, как Большой взрыв сейчас и т. д.), следовательно, вполне логично, что такие конструкции существуют только для того, чтобы помогать математически описывать вещи, поэтому физика должна быть независима от координат.

Второе, что вы говорите, не всегда происходит. Например, если у вас есть явно зависящий от времени лагранжиан, то смещения времени НЕ оставят лагранжиан инвариантным, и энергия не будет сохраняться (при этом в действительности энергия сохраняется, но, например, если у вас есть трение, то вы обычно говорите, что она не сохраняется, так как она удаляется из суммы кинетической и потенциальной энергий).

Точно так же, если у вас есть сферически симметричное потенциальное поле, то вращения физической системы оставят лагранжиан инвариантным, поскольку потенциальное поле одинаково для всех вращений вокруг фиксированного начала координат. НО если у вас есть цилиндрически симметричное потенциальное поле, осью которого является г оси, затем вращается вокруг г оставит лагранжиан инвариантным, но вращения вокруг Икс или же у оси НЕ оставят лагранжев инвариант.

Спасибо за ваш ответ, я согласен со всем, что вы говорите. Тем не менее, я пытаюсь понять, что обычно имеют в виду физики, когда говорят, что данный лагранжиан должен быть симметричным относительно данного преобразования. Например, требуется, чтобы различные лагранжианы стандартной модели были инвариантны относительно всех преобразований Лоренца. Требуем ли мы этого по первой или второй причине, которую я изложил выше?

Симметрия — это инвариантность объекта — чаще всего векторного пространства или многообразия — по отношению к преобразованиям . Например, мы говорим, что объект обладает отражательной симметрией относительно плоскости, если он остается неизменным при отражении в этой плоскости.

Более абстрактно, мы часто думаем о любой биективной карте как об обратимом «сохранении» информации, так что объект остается практически неизменным («инвариантным») под действием карты. Так что иногда вы будете видеть слово симметрия почти синонимом биекции.

Лагранжиан имеет симметрию, если он остается неизменным благодаря биективному отображению, сообщаемому многообразию / конфигурационному пространству, на котором определен лагранжиан. Симметрия непрерывна, если преобразование является членом семейства (группы Ли) таких биекций, которые одновременно параметризуются евклидовыми координатами и таковы, что параметризация является непрерывной функцией операции сопоставления-композиции.

Мы имеем в виду и то, и другое, хотя иногда и в разное время.

Смысл зависит от того, как мы намерены применять лагранжевую механику. Мы можем сказать: «Мы измеряем эту систему таким образом, но мы можем показать, что не имеет значения, каким способом мы ее измеряли, потому что поведение системы не зависит от нашей системы измерения». И это все хорошо и хорошо. Полезно иметь возможность сказать, что измерения нашей системы людьми могут расходиться с нашими измерениями только согласованным образом.

Мы также говорим: «Мы предсказываем, что поведение системы X будет таким из-за этой симметрии с системой Y». Например, мы часто используем симметрии безразмерных констант для моделирования в аэродинамической трубе в уменьшенном масштабе и определения прогнозируемого поведения другого объекта, который еще предстоит измерить.

В первом случае наука позволяет нам измерять и делиться своими измерениями с уверенностью, что это будет полезно другим. В последнем случае мы используем науку, чтобы делать прогнозы о том, что грядет.

Что именно мы подразумеваем под симметрией в физике?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v