Как интерпретировать эту конструкцию состояний в КТП?

Нерелятивистская квантовая механика

Чтобы прояснить этот вопрос, было бы полезно сопоставить его с нерелятивистской квантовой механикой.

В любой квантовой теории состояния системы представляют собой единичные лучи в гильбертовом пространстве и, следовательно, могут быть описаны единичными векторами Ψ .

В нерелятивистской квантовой механике частицы подходящим гильбертовым пространством является ЧАС "=" л 2 ( р , д Икс ) . Оператор позиции Икс просто Икс Ψ ( Икс ) "=" Икс Ψ ( Икс ) . Это позволяет интерпретировать | Ψ ( Икс ) | 2 как плотность вероятности для положения.

В любой квантовой теории эволюция во времени задается унитарным U ( т , т 0 ) который порождается гамильтонианом.

Однажды какое-то государство Ψ 0 ( Икс ) дано, человек развивает его до Ψ ( т , Икс ) "=" U ( т , т 0 ) Ψ 0 ( Икс ) . Итак, наши выводы:

  1. Состояние в один фиксированный момент времени является картой Ψ 0 : р → С ;

  2. Эволюция системы во времени есть путь состояний Ψ : р × р → С так что для каждого т зафиксировано, у нас есть одно такое состояние, как в (1), которое Ψ ( т , ⋅ ) .

Бесплатная QFT в пространстве-времени Минковского

Здесь мы рассматриваем свободную скалярную КТП в пространстве-времени Минковского. Это уже способно показать суть сомнения.

Один из способов построения пространства состояний описан в книге Уолда по ОТО. Речь идет об этой конкретной конструкции , потому что ее легче обобщить на другие пространства-времена, чем ту, которая основана на представлениях группы Пуанкаре.

Определим одночастичное гильбертово пространство, ЧАС , чтобы быть векторным пространством, состоящим из положительных частотных решений уравнения Клейна-Гордона, норма Клейна-Гордона которого конечна, со скалярным произведением на ЧАС определяется

( α , β ) К г "=" я ∫ Σ ( α ¯ ∇ а β − β ∇ а α ¯ ) н а д Σ

Гильбертово пространство всех возможных состояний скалярного поля Клейна-Гордона принимается за симметричное пространство Фока, Ф С ( ЧАС ) , построенный из ЧАС .

Итак, сосредоточьтесь на одночастичном гильбертовом пространстве. ЧАС так сконструировано. Его элементами являются состояния одной частицы. Но теперь это карты Ψ : М → С где М есть пространство-время Минковского. В координатах такая карта Ψ ( т , Икс ) .

Но подождите минутку. Теперь это сбивает с толку. Сравните с нерелятивистской квантовой механикой. Там состояние не зависит от времени. Кривая состояний , представляющая эволюцию во времени, которая зависит от времени.

Здесь само состояние имеет зависимость от времени.

Так что эволюция будет примерно такой Ψ ( т ′ ) ( т , Икс ) с "двумя временными параметрами"? Это крайне странно .

Или эти состояния уже несут в себе какое-то представление о временной эволюции?

Также трудно интерпретировать такое состояние Ψ ( т , Икс ) . В КТП нет оператора положения, поэтому нельзя сказать, что | Ψ ( т , Икс ) | 2 - плотность вероятности того, что частица будет находиться в Икс вовремя т как и в нерелятивистском случае.

Так как же нам интерпретировать эту конструкцию состояний? Как такой Ψ ( т , Икс ) интерпретировать и что оправдывает интерпретацию ?

Зависящие от времени состояния не являются чем-то странным, они появляются даже в нерелятивистской квантовой механике бакалавриата под названием картины Гейзенберга. Зависимость от времени отражает зависимость состояния от времени. Чтобы восстановить независимое от времени состояние, вы можете взять временной интервал, если это применимо в вашем пространстве-времени.
@knzhou Я думаю, что упускаю что-то очевидное. В картине Гейзенберга мы фиксируем состояние как начальное состояние, а наблюдаемые развиваются, верно? Другими словами, учитывая Ψ 0 исходное состояние, оно остается фиксированным, а наблюдаемые развиваются в соответствии с А ( т ) "=" U † ( т , т 0 ) А U ( т , т 0 ) . В таком случае Ψ 0 не зависит от времени, наблюдаемые зависят. Что мне здесь не хватает?
Это зависит от того, как вы его настроите, я полагаю. Например, я видел состояние | Икс , т ⟩ определяется «в картине Гейзенберга» как собственный вектор Икс ^ ЧАС ( т ) с собственным значением Икс . В этом смысле состояния простираются во времени. Но на практике не о чем беспокоиться, потому что расчеты будут выглядеть точно так же, вплоть до незначительных бухгалтерских свопов.
Например, амплитуда распространения от ( Икс , т ) к ( у , т ′ ) будет написано как ⟨ у , т ′ | Икс , т ⟩ в этих обозначениях, в то время как в стандартных обозначениях это было бы ⟨ у | U ( т ′ , т ) | Икс ⟩ . Но вы можете видеть, что они на самом деле одно и то же.
Но это другое ИМХО. В вашем примере у нас есть состояние, зависящее от времени. Итак, для каждого т у тебя одно состояние | Икс , т ⟩ . Это нормально. У нас есть набор состояний ЧАС и для каждого т мы выбираем один элемент, помеченный им. В конструкции я обрисовал в общих чертах, что это не так. Сами состояния являются функциями времени. Итак, функция Ψ - которое является состоянием, определенным в пространстве-времени (и, следовательно, зависящим от времени), является одним единственным элементом ЧАС . Не многие параметризуются по времени. Это то, что мне трудно примирить с нерелятивистской КМ.
Нет, это просто изменение точки зрения. Является | Икс , т ⟩ действительно «государство | Икс ⟩ как функция т " или "состояние для каждой пары ( Икс , т ) "? Нет абсолютно никакой существенной разницы с точки зрения вычислений, которые вы в конечном итоге делаете.
Вы уверены, что состояния определены на M, а не только на Sigma? Сигма кажется трехмерной (пространственной) гиперповерхностью и вектором нормали («время») на ней.

Ответы (4)

Я думаю, что, вероятно, лучше всего отбросить квант и просто понять, что здесь происходит в классической обстановке.

В классической механике обычно принимают состояние, задаваемое начальными данными для уравнений движения, например, точка ( Икс , п ) е Т * р 3 для одной частицы. Но поскольку мы работаем с уравнениями движения, для которых задача о начальных значениях корректна, мы получаем изоморфизм

{ решения уравнений движения } ≃ { данные начального значения } ,

так что мы могли бы с таким же успехом определить множество состояний как множество решений уравнений движения. Это одинаково хороший способ определения состояния системы. Это то, что делает Вальд. Единственная разница в том, что он находится в квантовой обстановке, поэтому рассматривает суперпозиции классических состояний.

Я бы предложил эквивалентный подход, который, возможно, вам покажется более приемлемым.

Вместо того, чтобы работать с

положительные частотные решения уравнения Клейна-Гордона, норма Клейна-Гордона которых конечна

как это делает Уолд, вы могли бы иметь дело с л 2 ( В + , д 3 п / п 0 ) где В + — оболочка с положительной массой в 4-импульсном пространстве. Это находится в отношениях трехмерного преобразования Фурье с соотношением Вальда. ЧАС :

Ψ ( т , Икс ) "=" ∫ В + опыт ⁡ ( я п мю Икс мю ) Φ ( п ) д 3 п п 0
Обратите внимание, что п 0 "=" + п 2 + м 2 и Ψ определяется как функция т из-за опыт ⁡ … который содержит временную эволюцию. С другой стороны
Ψ ( т , Икс ) "=" U ( т ) Ψ ( 0 , Икс )
как вам хотелось бы.

Посмотрим, получил ли я это. Космос л 2 ( В + , д 3 п / п 0 ) имеет то преимущество, что государство Φ ( п ) имеет прямую интерпретацию как амплитуда импульса. Теперь оператор перевода действует точно так же, как
U ( а ) Φ ( п ) "=" е я п мю а мю Φ ( п )
. В частности, эволюция свободного времени кодируется как чистое перемещение во времени. Таким образом, когда мы преобразуем Фурье, чтобы получить пространство Вальда, мы на самом деле получаем Ψ ( т , Икс ) что представляет собой эволюцию состояния в свободное время Ψ ( 0 , Икс ) . В этом случае состояния можно рассматривать как Ψ ( 0 , Икс ) . Это ваша точка зрения?

В релятивистских теориях пространство и время должны трактоваться на равных основаниях как координаты, и это относится и к релятивистским квантовым теориям.

Следовательно, квантовые поля (т. е. фундаментальные наблюдаемые в релятивистских квантовых теориях) зависят как от пространства, так и от времени как координаты, и, таким образом, пространственно-временной вектор Икс мю "=" ( Икс 0 , Икс → ) заменяет вектор пространственных координат Икс → используется в нерелятивистских теориях.

Это также в некоторой степени переводится в квантовые состояния, которые представляют собой (некоммутативные) распределения вероятностей, действующие на наблюдаемые (которые формируются из полей пространства-времени). Различие «до некоторой степени» связано с тем фактом, что в релятивистской квантовой механике, поскольку частицы могут рождаться и уничтожаться, поля, а не (квантовая версия) координаты и импульсы, являются фундаментальными наблюдаемыми теории, на которых состояния действовать.

Таким образом, концепция временной эволюции в релятивистской квантовой механике становится немного более тонкой, чем в нерелятивистском случае. Это связано с тем, что было бы неразумно (вернее, необязательно ковариантно) характеризовать эволюцию относительно времени фиксированной системы отсчета.

Релятивистская квантовая система в пространстве-времени Минковского определяется двумя вещами: представлением группы Пуанкаре, определенной абстрактно на алгебре наблюдаемых; и чистое состояние, инвариантное относительно (присоединенного) действия группы Пуанкаре. Такое состояние, так называемое вакуумное состояние , определяет представление состояний в виде векторов гильбертова пространства и однозначно определяет рассматриваемую теорию. Генератор в таком представлении временных сдвигов группы Пуанкаре является гамильтонианом системы . Поиск вакуума для взаимодействующих теорий — одна из самых сложных и до сих пор открытых проблем математической и теоретической физики. Для свободных теорий вакуум - это вакуум Фока, и, таким образом, это оправдывает конструкцию, упомянутую в ОП.

В искривленном пространстве-времени дело обстоит еще сложнее, потому что для пространства-времени больше нет группы симметрии, и поэтому следует найти подходящий аналог вакуумного состояния. Для свободных теорий используются так называемые состояния Адамара .

Спасибо @yuggib. Но видите ли, по построению Вальда, состояние есть функция пространства и времени. ф ( т , Икс ) который решает уравнение КГ и имеет положительную частоту для инерциального наблюдателя. Так что, по крайней мере, у нас есть конструкция естественного вакуума. И все же, как мы интерпретируем такое состояние? Я не вижу, как оправдать, говоря, что | ф ( т , Икс ) | 2 является плотностью вероятности для положения, как в нерелятивистской КМ, поскольку у нас нет наблюдаемых положений.
@user1620696: user1620696: Вы забываете о важной вещи, упомянутой Вальдом, а именно о том, чтобы занять место Фока. Ф над пространством ЧАС который содержит ваше классическое решение KG ф ( т , Икс ) . Вещь, квадрат модуля которой имеет вероятностную интерпретацию, принадлежит Ф нет ЧАС .

Функция есть функция, а не состояние. Говорят, что состояния находятся во взаимно однозначном соответствии с такими функциями. Не сказано, что состояние во времени т описывается функцией в момент времени т . Представьте, что вы работаете в плоском пространстве с обычными операторами создания-уничтожения. Для каждого оператора создания существует одночастичное состояние. Существует также полевой режим, который является функцией Икс и т , для каждого оператора создания. Этот режим и есть функция, о которой говорит Вальд, если я правильно понимаю. Это не означает, что операторы создания зависят от времени, и поэтому это не означает, что создаваемые ими состояния зависят от времени. Все в картине Гейзенберга.

Как интерпретировать эту конструкцию состояний в КТП?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v