Почему предполагается, что пространство-время с отрицательной кривизной имеет гиперболическую, а не сферическую геометрию?

Question

Почему предполагается, что пространство-время с отрицательной кривизной имеет гиперболическую, а не сферическую геометрию?

Роберт Ф.

Вместо четырехмерной гиперболической геометрии (седловидной) возможно ли, чтобы пространство-время с отрицательной кривизной имело четырехмерную сферическую геометрию, в которой перспектива находится «внутри» сферы, а не «снаружи»?

Конифолд

Поскольку, согласно Картану-Амброузу-Хиксу, все односвязные многообразия постоянной секционной кривизны изометричны в любом измерении, поэтому на топологическую сферу нельзя положить гиперболическую метрику.

Роберт Ф.

@Conifold Это означает, что это произвольно - мы все равно увидим положительную кривизну (сходящиеся линии), даже если мы живем «внутри» 4D-сферы?

Конифолд

Я не уверен, что произвольно? Сферы просто не допускают гиперболической метрики, кривизна и топология являются внутренними, поэтому «внутри» и «снаружи» не имеют значения.

Процветает

@RobertF Это вовсе не произвольно. Внутренняя часть сферы имеет положительную кривизну, как и внутренняя часть. Кривизна присуща самой поверхности.

Роберт Ф.

@Conifold Да, я думаю, что слишком буквально использую упрощенные иллюстрации положительного / отрицательного искривления пространства-времени, показывающие людей, идущих по холмам или внутри чаш. Поскольку мы застряли внутри , а не на поверхности пространства-времени, нет смысла менять перспективу изнутри наружу.

Чам

В своем вопросе вы должны указать, что вы подразумеваете под «кривизной»: скалярную кривизну всего пространства-времени или только его пространственного сечения ? Я думаю, вас интересует только геометрия сечения пространства, поскольку все пространство-время имеет кривизну, зависящую от времени. Кроме того, вы должны указать, что вас интересуют изотропные и однородные пространства (например, космологии Фридмана-Лемэтра-Робертсона-Уокера), если это так.

Чам

Кроме того, обратите внимание, что существует глобальное соглашение о знаках, которое может потребоваться указать при вычислении скалярной кривизны . Это не просто произведение двух главных кривизн. Общее определение - это сокращение тензора Риччи , которое само является сокращением тензора Римана :

р \equiv г^{мю ν} р_{мю ν} "=" г^{мю ν} р_{мю ν λ}^{λ}

$R \equiv g^{\mu \nu} \, R_{\mu \nu} = g^{\mu \nu} \, R^{\lambda}_{\mu \nu \lambda}$ (обратите внимание на положение

λ

$\lambda$ индекс. Он может меняться от одного автора к другому, и это важно, поскольку

R_{μ ν λ}^{λ}

$R^{\lambda}_{\mu \nu \lambda}$ является антисимметричным в

ν λ

$\nu \lambda$ !).

Ответы (3)

Почему предполагается, что пространство-время с отрицательной кривизной имеет гиперболическую, а не сферическую геометрию?

Поскольку, согласно Картану-Амброузу-Хиксу, все односвязные многообразия постоянной секционной кривизны изометричны в любом измерении, поэтому на топологическую сферу нельзя положить гиперболическую метрику.
@Conifold Это означает, что это произвольно - мы все равно увидим положительную кривизну (сходящиеся линии), даже если мы живем «внутри» 4D-сферы?
Я не уверен, что произвольно? Сферы просто не допускают гиперболической метрики, кривизна и топология являются внутренними, поэтому «внутри» и «снаружи» не имеют значения.
@RobertF Это вовсе не произвольно. Внутренняя часть сферы имеет положительную кривизну, как и внутренняя часть. Кривизна присуща самой поверхности.
@Conifold Да, я думаю, что слишком буквально использую упрощенные иллюстрации положительного / отрицательного искривления пространства-времени, показывающие людей, идущих по холмам или внутри чаш. Поскольку мы застряли внутри , а не на поверхности пространства-времени, нет смысла менять перспективу изнутри наружу.
В своем вопросе вы должны указать, что вы подразумеваете под «кривизной»: скалярную кривизну всего пространства-времени или только его пространственного сечения ? Я думаю, вас интересует только геометрия сечения пространства, поскольку все пространство-время имеет кривизну, зависящую от времени. Кроме того, вы должны указать, что вас интересуют изотропные и однородные пространства (например, космологии Фридмана-Лемэтра-Робертсона-Уокера), если это так.
Кроме того, обратите внимание, что существует глобальное соглашение о знаках, которое может потребоваться указать при вычислении скалярной кривизны . Это не просто произведение двух главных кривизн. Общее определение - это сокращение тензора Риччи , которое само является сокращением тензора Римана : $р \equiv г^{мю ν} р_{мю ν} "=" г^{мю ν} р_{мю ν λ}^{λ}$ $R \equiv g^{\mu \nu} \, R_{\mu \nu} = g^{\mu \nu} \, R^{\lambda}_{\mu \nu \lambda}$ (обратите внимание на положение $\lambda$ индекс. Он может меняться от одного автора к другому, и это важно, поскольку $R^{\lambda}_{\mu \nu \lambda}$ является антисимметричным в $\nu \lambda$ !).

Процветает · Answer 1

Кривизна поверхности определяется как произведение ее главных кривизн. Независимо от того, являются ли они оба положительными (снаружи, если сфера) или оба отрицательными (внутри), произведение все равно будет положительным.

Кривизна присуща поверхности, как упоминает @Cornifold выше. Неважно, с какой стороны вы это видите. Это фундаментальная математическая теорема, посмотрите, например, на ее странице в Википедии.

Как вы указываете в своем собственном комментарии, расстояние и угловые измерения на сфере одинаковы, независимо от того, смотрите ли вы на нее изнутри или снаружи. По сути, это другой способ сказать то же самое — что кривизна неизменна. Это, в некотором смысле, именно то, что означает кривизна.

пользователь 20250 · Answer 2

Ваш вопрос должен раствориться, когда вы поймете значение кривизны.

Когда мы говорим о сферах и седлах, мы представляем их в трехмерном пространстве. Мы можем использовать декартову трехмерную систему и полностью описать поверхности некоторой функцией $F(x,y,z) = 0$ . Например, единичная сфера может быть описана как

{Икс}^{2} + у^{2} + г^{2} - 1 "=" 0

$x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0$

Математически то, что мы делаем, называется встраиванием . Мы вложили двухмерную поверхность в трехмерное пространство. Это математический факт, что мы можем вкладывать такие поверхности, т.е. многообразия, в многомерные обычные евклидовы пространства.

Но вот в чем дело. Нам не нужно думать о поверхностях как о встроенных в какое-то многомерное пространство. Например, сфера как двумерное многообразие является тем, чем она является, встраиваете вы ее или нет, важна поверхность . Кривизна многообразия не зависит от его вложения, это внутреннее свойство самого многообразия.

Так что, видите ли, нет снаружи и внутри, не совсем так. Один из способов измерить кривизну сферы — нарисовать на ней окружность и сравнить ее длину окружности с площадью. Соотношение, конечно, будет меньше, чем на листе бумаги, который представляет собой плоское пространство. Точно так же в трехмерном пространстве вы бы сравнили объем внутри сферы с площадью ее поверхности.

Поэтому, говоря о кривизне четырехмерного пространства-времени, не представляйте ее гиперповерхностью в многомерном пространстве, в этом нет необходимости.

Юктерез · Answer 3

На сфере, если вы воспринимаете ее как двумерное представление искривленного трехмерного пространства, можно двигаться прямо вперед и в конечном итоге оказаться там, откуда вы начали (что также имело бы место в нерасширяющейся замкнутой вселенной; на самом деле вселенная тоже расширяется). быстро даже для луча света, чтобы догнать увеличивающуюся кривизну окружности), но в открытой вселенной вы не можете, поэтому сфера была бы неправильным представлением для открытой вселенной, но правильным для закрытой.

Отрицательная кривизна не означает, что геодезические продолжаются вечно. Существуют трехмерные пространства постоянной отрицательной кривизны, обладающие тем свойством, что (по крайней мере, некоторые) геодезические возвращаются в исходную точку. См., например, пространство Зейферта-Вебера (без отношения), которое в основном является гиперболическим аналогом 3-тора.
Если да, то я ограничиваю свой ответ космологической перспективой.

Почему предполагается, что пространство-время с отрицательной кривизной имеет гиперболическую, а не сферическую геометрию?

Роберт Ф.

Конифолд

Роберт Ф.

Конифолд

Процветает

Роберт Ф.

Чам

Чам

Ответы (3)

Процветает

пользователь 20250

Юктерез

Майкл Зайферт

Юктерез

Если Вселенная почти плоская, как может искривляться пространство?

Фактическая кривизна пространства

Положительная локальная пространственная кривизна Вселенной означает, что Вселенная компактна (т.е. конечна)?

Вопросы о том, как кривизна Вселенной описывается одним числом

Почему мы говорим только о трех вариантах, когда речь идет о форме пространства-времени?

Какова судьба гиперсферной вселенной?

Можем ли мы иметь положительно искривленное пространство внутри отрицательно искривленного пространства-времени?

Как вселенная может быть гиперболической, если гиперболическое пространство несимметрично?

Может ли измениться форма Вселенной?

Нецелое значение kkk в модели Фридмана-Робертсона-Уокера?