Нецелое значение kkk в модели Фридмана-Робертсона-Уокера?

Континуум кривизны действительно существует, но мы считаем более удобным поместить его в другом месте. Важнейшей частью метрики, которая кодирует кривизну, является фактор$1-K r^2$, где$r$- радиальная координата (с использованием любой точки в качестве начала координат) и$K$любое действительное число, положительное или отрицательное. По размерному анализу есть некоторая длина$L$такой, что либо$K=1/L^2$или$K=-1/L^2$, поэтому мы можем переписать нашу формулу как$1 - k (r/L)^2$, где$k$это всего лишь признак$K$, или$0$если$K=0$. Дело$k=0$соответствует$L$равно бесконечности.

Эта новая переменная$k$могут иметь только значения$\pm 1$или$0$, но это нормально, потому что$L$по-прежнему может быть любой длины, поэтому у нас есть весь диапазон кривизны.$L$известен как радиус кривизны Вселенной, а большее$L$предполагает меньшую кривизну.$k$определяет, является ли эта кривизна положительной или отрицательной.

Теперь, и это немного технический момент, мы можем сделать это$L$уйти, если мы измерим нашу координату$r$в единицах$L$. В нашей формуле можно положить$x = r/L$получить просто$1-kx^2$. Континуум кривизны все еще существует, но он скрыт внутри$x$, так как физическая интерпретация$x$зависит от$L$:$x$сколько раз$L$подходит на ваше расстояние. Так что если например$L = 1\ \text{light-year}$,$x=2$это расстояние$2$световых лет, но если$L = 3$световых лет тогда$x=2$на самом деле расстояние$6$световых лет. Математически цена, которую мы платим, такова:$L$теперь появляется в других местах формул, в той части, которую мы используем для вычисления длин.

Подводя итог, можно сказать, что кривизна действительно может принимать любое значение: чем ближе она к нулю, тем ближе пространство к плоскому. Дело в том, что$k$может быть только$\pm 1$или ноль - это просто вопрос удобства: мы используем$k$обозначить три качественно различных сценария положительной/отрицательной/нулевой кривизны.$L$просто устанавливает масштаб размера для вселенной.