Почему принцип неопределенности Гейзенберга неприменим для волн в струне?

Я думаю, вы неправильно поняли смысл уравнения

$$\Delta X \Delta P \geq \hbar / 2 \, .$$ Это неудивительно, учитывая, что используемые здесь обозначения действительно вводят в заблуждение. Это должно быть написано так

$$\sigma_X \sigma_P \geq \hbar / 2 \, .$$

Чтобы понять это, мы должны объяснить, что$\sigma_X$и$\sigma_P$иметь в виду. Предположим, у вас есть волновой импульс в определенный фиксированный момент времени. Вы можете описать этот импульс как функцию положения$f(x)$. Этот импульс имеет некоторую ширину; он может быть очень узким или очень острым. Распространенным способом характеристики этой ширины является дисперсия, определяемая как

$$\text{variance} \equiv \int f(x) (x - \mu)^2 \, dx$$ где $\mu$это среднее значение $x$взвешенный по $f(x)$, определяется как $$\mu \equiv \int x f(x) dx \, .$$ С этого момента давайте предположим, что мы установили координаты так, чтобы $\mu=0$и у нас есть $$\text{variance} \equiv \int f(x)x^2 \, dx \, .$$ Опять же, дисперсия — это просто характеристика ширины импульса. Мы также определяем «стандартное отклонение» импульса как $$\text{standard deviation} \equiv \sigma_x \equiv \sqrt{\text{variance}} \, .$$

Главное сообщение здесь заключается в том, что$\sigma_x$это всего лишь мера ширины импульса . См. схему. Вы также можете думать об этом как о «неопределенности положения импульса», но эта конкретная интерпретация действительно имеет больше смысла в квантовом случае, когда у вас есть волновая функция, которая представляет амплитуду вероятности обнаружения частицы в различных положениях.

Принцип неопределенности Гейзенберга связывает ширину этого импульса$\sigma_X$к неопределенности импульса импульса (или скорости, если хотите)$\sigma_P$. Итак, теперь вы видите, что действительная скорость волны не является предметом принципа неопределенности; скорее это неуверенность в скорости.

Теперь, чтобы пойти немного дальше, давайте подумаем больше о том, что$\sigma_P$на самом деле означает. Вы можете повторно выразить волновую функцию$f(x)$как функция волнового вектора через преобразование Фурье

$$\tilde{f}(k) \equiv \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-i k x} \, dx \, .$$

Эта функция говорит вам, как разбить пульс на волны, каждая из которых имеет определенный импульс.$p = \hbar k$. Принцип неопределенности Гейзенберга точно говорит, что ширина этой новой функции, умноженная на ширину исходной волновой функции положения, должна быть равна или больше, чем$\hbar/2$.

Важно: если вы забудете об импульсе и будете говорить только о положении и волновом векторе, вы получите соотношение, справедливое для любой функции .$f$и не имеет абсолютно никакого отношения к квантовой механике:

$$\sigma_x \sigma_k \geq 1/2 \, .$$

Вы можете думать об этом как о классическом пределе соотношения неопределенностей Гейзенберга, если хотите, но опять же, на самом деле это просто математическое утверждение о формах волн.

Ваша ситуация немного сбивает с толку, поскольку скорость волнового пакета не связана с импульсом. Если вы хотите говорить о принципе неопределенности для классических волн, то «импульс» пропорционален обратной длине волны.$\lambda^{-1}$. В этой ситуации скорость волны не зависит от длины волны, а зависит только от таких вещей, как плотность среды. Таким образом, хотя скорость волны меньше, это не имеет ничего общего с разбросом длин волн, необходимых для создания импульса (в смысле Фурье), и, следовательно, не имеет ничего общего с разбросом «импульса».

На самом деле вы можете интуитивно убедиться, что если волновой пакет имеет более короткую$\Delta x$вам понадобятся сравнительно более короткие длины волн, чтобы составить его. Таким образом, на самом деле в более коротком волновом пакете имеется сравнительно более высокий импульс (и разброс по импульсу), и классическая версия принципа неопределенности выполняется.

Редактировать. Я имею в виду, что у вас есть волновой пакет, который представляет собой линейную суперпозицию группы плоских волн с разными длинами волн. Теперь скажем, что вы масштабируете этот волновой пакет так, чтобы он имел половину линейной протяженности.$\Delta x$(вы можете определить это как стандартное отклонение или как поддержку, если оно конечно, или как-то иначе), но ту же форму. Интуитивно понятно, что это будет суперпозиция одного и того же распределения плоских волн, каждая из которых имеет половину предыдущей длины волны. Поскольку длина волны уменьшена вдвое, «импульс»$\lambda^{-1}$удваивается. Вот почему импульс увеличивается, а продукт$\Delta x \Delta p$появляется в соотношении неопределенностей.