Почему скорость убегания не зависит от направления проекции?

Здесь есть пара неверных ответов - вы правы в том, что скорость убегания не зависит от угла проекции.

Энергию вылетающего снаряда можно записать

$$E = T + U = \frac{1}{2}mv^2 - G\frac{Mm}{r}$$

Различают три типа орбит в зависимости от знака$E$:

1. $E<0 \implies$Эллиптическая орбита (красный)
2. $E=0 \implies$Параболическая орбита (зеленая)
3. $E>0 \implies$Гиперболическая орбита (синяя)

Из трех только эллиптические орбиты закрыты; гиперболические и параболические орбиты соответствуют снаряду, улетающему в бесконечность. Параболическая орбита — это «граничный случай» — первое значение энергии, при котором снаряд улетает в бесконечность. Поэтому мы определяем скорость убегания как скорость, необходимую для обращения полной энергии в нуль:

$$\frac{1}{2} m v_{esc}^2 - G\frac{Mm}{r} = 0 \implies v_{esc} = \sqrt{\frac{2GM}{r}}$$

---

Если частица спроецирована радиально от планеты со скоростью убегания, то она будет следовать прямолинейной траектории, постепенно замедляясь, асимптотически приближаясь к нулевой скорости на бесконечности.

С другой стороны, если частицу спроецировать горизонтально (по касательной к Земле), орбита будет выглядеть примерно так:

Однако в обоих случаях снаряд улетает на бесконечность, что зависит только от знака полной энергии.

Я попытался ответить на вопрос по-другому.

Предположим, объект, масса$m$, проецируется на скорость убегания$v_{\rm e}$по касательной к поверхности Земли радиуса$R$и масса$M$.

С точки зрения энергии$\frac 12 mv^2_{\rm e} -\frac{GMm}{R}=0$и$\frac 12 mv^2 -\frac{GMm}{r}=0$на любом расстоянии$r$от центра Земли при движении со скоростью$v$. Это говорит нам о том, что на любом расстоянии$r$от центра Земли объект движется со скоростью убегания для этого расстояния.

Объединение этих двух уравнений дает$v^2=v^2_{\rm e} \frac Rr$

Гравитационная сила является центральной, поэтому угловой момент сохраняется.

$$mRv_{\rm e} = mrv_{\theta}\Rightarrow v_{\theta} = \frac{v_{\rm e} R}{r}$$ где$v_{\theta}$- скорость под прямым углом к ​​радиус-вектору, тангенциальная скорость.

Если$v_{\rm r}$- скорость вдоль радиус-вектора, тогда

$$v_{\rm r}^2 = v^2 - v^2_{\theta}= v^2_{\rm e} \frac Rr-\left(\frac{v_{\rm e} R}{r}\right)^2=v^2_{\rm e}R\left(\frac 1 r - \frac {R}{r^2} \right)$$

Чтобы увидеть значение уравнений для тангенциальной и радиальной скоростей, давайте посмотрим на некоторые графики и для простоты сделаем$v_{\rm e} =1$и$R=1$так что у нас есть

$$v_{\rm r} = \sqrt{\left (\frac 1 r - \frac {1}{r^2} \right)}=\frac 1 r \sqrt{r-1}\text{ and }v_{\theta}= \frac 1 r$$

Обратите внимание, что для$r>2$радиальная скорость больше, чем тангенциальная скорость, при этом радиальная скорость становится все более и более доминирующей по мере увеличения расстояния от Земли.
Таким образом, траектория объекта становится все ближе и ближе к радиус-вектору.
Начальная тангенциальная скорость не была потрачена впустую, а способствовала тому, что объект смог покинуть Землю.

Возможно, при соответствующем масштабировании графиков можно показать эффект изменения угла, под которым обстреливается объект.
Например, когда угол$45^\circ$начальные радиальная и тангенциальная скорости равны, и по мере удаления от Земли радиальная скорость будет преобладать все больше и больше.

Скорость убегания определяется таким образом, что любой объект, независимо от того, в каком направлении он движется, сможет достичь бесконечного расстояния от другого тела (например, Земли), несмотря на гравитационное притяжение этого тела. Угол запуска не имеет значения, потому что нет максимальной высоты. Объект просто будет продолжать двигаться вечно на все более дальние расстояния.

Если запустить объект с космической скоростью вертикально, то все остальное время он всегда будет удаляться от Земли. Он будет постепенно замедляться, но никогда не остановится.

Если вы запустите объект с космической скоростью, параллельной земле, он пойдет по параболической траектории в бесконечность. Он всегда будет замедляться и медленно поворачиваться на 90° от исходного угла запуска, но никогда не перестанет увеличивать дистанцию ​​и никогда не завершит поворот.

Потому что угол для скорости убегания неявно равен девяноста градусам в формулах, которые вы видели. Вы можете выразить скорость убегания, используя начальный угол запуска, но уравнения, которые вы представили, предполагают, что снаряд вылетает прямо вверх для скорости убегания.

РЕДАКТИРОВАТЬ: ответ Дж. Мюррея не совсем полон и критикует мой как неправильный. У меня недостаточно представителей, чтобы ответить напрямую, так как я новичок, поэтому я буду здесь. Он пишет основное уравнение энергии:

$E=T+U=\frac{1}{2}mv^2−\frac{GMm}{r}$

Но это уравнение эффективно рассматривает v и r как скаляры, а не векторы. Другими словами, уравнение рассматривается как одномерное. Из Википедии:

«Скорость убегания — это минимальная скорость , необходимая свободному объекту для выхода из-под гравитационного воздействия массивного тела».

Таким образом, чтобы снаряд покинул гравитацию Земли параллельно плоскости Земли, ему потребуется большая начальная скорость, но по определению скорость убегания остается неизменной. С другой семантической точки зрения, в определении говорится, что это «скорость», но название - это скорость, неправильное название, вероятно, является большим источником путаницы.

Вот «вывод исчисления» из Википедии.

Суммарная работа, необходимая для того, чтобы сдвинуть тело с поверхности$r_0$тяготеющего к бесконечности тела тогда

$W = \int_{r_0}^{\infty} -G\frac{Mm}{r^2}\,dr = -G\frac{Mm}{r_0} = -mgr_0$

Это минимальная кинетическая энергия, необходимая для достижения бесконечности, поэтому скорость убегания$v_0$удовлетворяет:

$W+K=0\Rightarrow {\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}=G{\frac {Mm}{r_{0}}}$

Это уравнение более явно утверждает, что r и v являются скалярами, обозначенными как$r_0$и$v_0$Кроме того, мы переходим от работы (W) к скалярному члену кинетической энергии (K), когда возможны векторные члены кинетической энергии. Вот определение кинетической энергии в Википедии:

«Она определяется как работа, необходимая для ускорения тела данной массы из состояния покоя до заданной скорости ».

Таким образом, определение, которое Мюррей и Википедия используют для кинетической энергии, является лишь удобным случаем , когда рассматривается только одномерная кинетическая энергия (использующая скорость, а не скорость). Кроме того, вы не можете просто заменить кинетическую энергию работой. Гравитация — консервативная сила, то есть она не работает на замкнутом пути. Однако кинетическая энергия совершает работу на замкнутом пути, поэтому приравнивать их во всех случаях — еще одно заблуждение.