Почему сохранение энергии и теорема Нётер нетривиальны?

Question

Почему сохранение энергии и теорема Нётер нетривиальны?

The_Sympathizer

Теорема Нётер говорит, что сохранение энергии является результатом временной трансляционной симметрии законов физики. Подразумевается, что это — и я не говорю, что это не так — очень нетривиальное утверждение. Так почему же тогда это не кажется таким нетривиальным, когда мы пытаемся формализовать это неформальное утверждение следующим, казалось бы, очень естественным и интуитивным способом?

Чтобы формально понять заявленное утверждение, нам нужно разобраться в двух вещах: что такое «закон физики» и что такое «временная трансляционная симметрия». И теоретическая математика, похоже, дает довольно четкий ответ на первый вопрос — о том, что называется динамической системой.

Динамическая система представляет собой тройку $(M, T, \Phi)$ состоящий из набора $M$ называется фазовым пространством , моноидом (набор, где вы можете, грубо говоря, складывать элементы) $T$ называемое пространство-время , и, наконец, семейство карт $\{ \Phi^t \}_{t \in T}$ , $\Phi^t : M \rightarrow M$ , называемые эволюцией , потоком или, если угодно, физикой , которые удовлетворяют следующему полугрупповому свойству : для всех $P \in M$ и время $s, t \in T$ ,

Φ^{0} (п) "=" п

$\Phi^0(P) = P$

Φ^{с} (Φ^{т} (п)) "=" Φ^{т + с} (п)

$\Phi^s(\Phi^t(P)) = \Phi^{t + s}(P)$

. Я говорю, что это очень интуитивно, потому что это прямо соответствует тому, что мы представляем себе, что законы физики делают: они берут то, что мы знаем о настоящем, то есть о точке фазового пространства. $P$ , и они предсказывают будущее, т. е. то, что будет через некоторый промежуток времени: т. е. $\Phi^t(P)$ .

(Кроме того, примечание: в физике, по крайней мере, $T$ обычно принимается за действительные числа $\mathbb{R}$ , вместе с доп. В частности, в классической механике $M$ является дифференцируемым многообразием и, более конкретно, «симплектическим многообразием», поэтому оно имеет некоторую дополнительную структуру помимо чисто топологической и аналитической. Для простой системы, состоящей из движущегося точечного объекта, элементы $M$ пары $(X, \mathbf{p})$ позиции $X$ и импульс $\mathbf{p}$ .)

Затем мы можем определить симметрию динамической системы как биективное отображение себя $S: M \rightarrow M$ фазового пространства в себя с учетом динамики, т.е. для всех $P \in M$ и $t \in T$ ,

Φ^{т} (С (п)) "=" С (Φ^{т} (п))

$\Phi^t(S(P)) = S(\Phi^t(P))$

.

Иными словами, если мы преобразуем фазовое пространство с помощью симметрии, преобразованная точка порождает историю, которая является просто преобразованием истории исходной точки, то есть обе они порождаются одним и тем же законом физики. $\Phi$ . Или, другими словами, симметрии — это своего рода «автоморфизм» динамической системы.

Но вот в чем дело: каждый раз переводчик, $\Phi^s$ , является симметрией $\Phi$ по этому определению, и, таким образом, это подразумевает, что всегда должна существовать сохраняющаяся энергия, не так ли? И если бы нам дали временной ряд, который не может быть задан динамической системой, как описано выше, например, два значения в ряду были бы равны, но с разными значениями, следующими за ними, так что свойство полугруппы не выполняется или, что эквивалентно, траектория самопересекается, мы можем всегда просто увеличивайте фазовое пространство. И тогда мы можем еще раз выразить какую-то законсервированную «энергию».

Другими словами, все динамические системы симметричны во времени и в результате сохраняют некоторое количество, которое мы потенциально могли бы назвать энергией.

Так почему же тогда утверждение о том, что энергия сохраняется, является «нетривиальным» утверждением о Вселенной, если мы всегда можем придумать что-то, что можно назвать «сохраняемой энергией»? Или, другими словами, как получается, что темпоральная трансляционная симметрия нетривиальна, когда она по существу встроена в определение динамических систем и фазовых пространств (в частности, она следует из непересечения траекторий фазового пространства) ?

Ричард Майерс

Стоит отметить, что существование сохраняющихся величин на самом деле составляет лишь половину силы теоремы Нётер. Существует также связь между сохраняющимися зарядами и преобразованием симметрии через скобку Пуассона в канонической формулировке системы.

The_Sympathizer

@ Ричард Майерс: я подозревал что-то в этом роде - что в теореме есть дополнительная деталь, скрытая в «соответствиях»: теорема утверждает конкретное соответствие между сохраняющейся величиной и симметрией динамики.

миридий

В классической механике две функции импульсов и координат

F (p_{i}, q_{i}), G (p_{i}, q_{i})

$F(p_i, q_i), G(p_i, q_i)$ иметь скобку Пуассона нуля,

{F, G} = 0

$\{F, G\} = 0$ , именно тогда, когда бесконечно малое преобразование фазового пространства, связанное с $G$ оставляет значение

F

$F$ инвариант. Аверс

G, F

$G,F$ также верно. В случае, если

G

$G$ является гамильтонианом системы, то преобразование фазового пространства, связанное с

G

$G$ это тот, за которым следует система по мере своего развития во времени. Сохранение энергии отличается от других сохраняемых величин тем, что

{H, H} = 0

$\{H,H\} = 0$ .

пользователь 253751

Я не вижу скачка. Без теоремы Нётер как получить из "

Φ^{s}

$\Phi^s$ есть симметрия» к «существует некоторая сохраняющаяся величина»?

Ответы (6)

Почему сохранение энергии и теорема Нётер нетривиальны?

Стоит отметить, что существование сохраняющихся величин на самом деле составляет лишь половину силы теоремы Нётер. Существует также связь между сохраняющимися зарядами и преобразованием симметрии через скобку Пуассона в канонической формулировке системы.
@ Ричард Майерс: я подозревал что-то в этом роде - что в теореме есть дополнительная деталь, скрытая в «соответствиях»: теорема утверждает конкретное соответствие между сохраняющейся величиной и симметрией динамики.
В классической механике две функции импульсов и координат $F(p_i, q_i), G(p_i, q_i)$ иметь скобку Пуассона нуля, $\{F, G\} = 0$ , именно тогда, когда бесконечно малое преобразование фазового пространства, связанное с $G$ оставляет значение $F$ инвариант. Аверс $G,F$ также верно. В случае, если $G$ является гамильтонианом системы, то преобразование фазового пространства, связанное с $G$ это тот, за которым следует система по мере своего развития во времени. Сохранение энергии отличается от других сохраняемых величин тем, что $\{H,H\} = 0$ .
Я не вижу скачка. Без теоремы Нётер как получить из " $\Phi^s$ есть симметрия» к «существует некоторая сохраняющаяся величина»?

Андрей · Answer 1

Вот несколько наблюдений, которые, как мне кажется, вместе составляют ответ на ваш вопрос (хотя я не уверен, что следовал всем обозначениям в основной части вопроса).

Любое решение (скалярного) дифференциального уравнения второго порядка имеет две константы, связанные с решением, а именно две константы интегрирования. Однако, как правило, мы обычно не называем эти константы сохраняющимися величинами , потому что их нельзя вычислить, используя только динамические степени свободы в данный момент времени. Другими словами: вычислить энергию гармонического осциллятора во времени $t$ , нам нужно только знать положение и скорость в момент времени $t$ (плюс константы вроде частоты колебаний). Однако знать начальные условия в какой-то момент $t_0$ , нам нужно проинтегрировать уравнения движения назад во времени. Конечно, для гармонического осциллятора мы можем и часто делаем это и связываем начальные условия с энергией, и в этом случае начальные условия можно восстановить, зная состояние системы только в текущий момент времени (с точностью до фазы). Но для системы без сохранения энергии вы сможете вычислить начальные условия, только развивая систему в обратном направлении; вы не можете напрямую вычислить начальные условия, зная только состояние системы в какой-то более поздний момент времени.
Конечно, существуют динамические системы без сохраняющихся величин. А именно, любая система без инвариантности относительно переноса во времени (например, гармонический осциллятор, в котором частота колебаний изменяется со временем). Ваш формализм должен уметь это видеть (хотя мне не на 100% понятно как), но для системы с зависящим от времени гамильтонианом, чтобы определить оператор эволюции (который вы назвали $\Phi^s$ ) вы должны указать как начальное время $t_0$ и последний раз $t$ до которого вы развиваете систему.

Подводя итог, можно сказать, что нетривиальный аспект энергии заключается в том, что это утверждение о количестве, которое можно вычислить, используя только состояние системы в один момент времени. Мы также можем обозначить траектории фазового пространства, используя начальные условия, но (в отличие от энергии) единственный способ вычислить начальные условия (учитывая состояние в более поздний момент времени). $t$ заключается в том, чтобы вернуть систему в исходное время.

Спасибо, и да - за гармонический осциллятор, карту эволюции $\Phi^t$ по существу просто вращение в фазовом пространстве вокруг начала координат ( $X = p = 0$ ) с соответствующей угловой частотой. Таким образом, подходящий трюк состоит в том, чтобы рассмотреть более общий оператор эволюции, который принимает как приращение времени, так и настоящее время, т.е. $\Phi^{t \rightarrow t'}$ , где это обозначение указывает, что карта развивает состояние, записанное в определенное время. $t$ ко времени $t'$ . Таким образом, симметрия времени означает, что это не зависит от $t$ , времени возникновения, т.е. динамике можно придать вид, только что описанный в посте.
(Или, другими словами, согласно данному динамическому закону, текущее состояние определяет будущее однозначно, без необходимости ввода дополнительной информации.)
И тогда действительно, сохранение энергии происходит просто потому, что вы можете поместить функцию, которая имеет линии тока в фазовом пространстве в виде кривых уровня. Вы не можете сделать это, если кривые пересекаются, иначе у вас будет не функция, а отношение «один ко многим».

Роджер Вадим · Answer 2

Сохранение энергии означает, что уравнения движения имеют первый интеграл. Это нетривиальное утверждение, поскольку оно выбирает подмножество уравнений из всех мыслимых их типов.

Хотя было известно, что многие уравнения движения, полученные эмпирически, имеют такой интеграл, теорема Нётер делает это утверждение в самой общей форме в результате однородности времени.

Qмеханик · Answer 3

С одной стороны, теорема Нётер в своей первоначальной формулировке предполагает формулировку действия. В настройке OP (v1) этого нет. Формулировка действия приводит, среди прочего, к стандартной формуле для энергии (которая, конечно, является нётеровским зарядом для переноса времени), ср. например, этот пост Phys.SE.
С другой стороны, учитывая только тройку ОП, нет четкого определения энергии. Обычно не разрешается выбирать какую-либо старую константу интегрирования EOM и заявлять, что это энергия.

Тогда другая интерпретация ответа на этот вопрос будет заключаться в том, что теорема Нётер зависит от более ограничительной формулировки идеи «закона физики», верно?
Спасибо. Что касается также вашего утверждения «нет четкого определения энергии», я слышал, что многие говорят, что «определение энергии состоит в том, что это сохраняющаяся величина, соответствующая симметрии при временном перемещении». Выявляет ли это проблему с этой идеей, потому что ваш пункт (2), кажется, подразумевает существовавшее ранее определение энергии, прежде чем мы сможем говорить о связях с временным переносом?
Приведенная выше цитата (которую многие говорят) сама по себе не является полным определением энергии.

The_Sympathizer · Answer 4

Это часть ответа; еще не полный ответ.

Проблема с вопросом в том виде, в каком я его сформулировал, заключается в том, что это определение динамики может не совпадать с тем, что имеют в виду многие физики, даже несмотря на то, что оно является очень интуитивным, поскольку в основном говорит, что динамический или физический закон — это то, что вы понимаете. можно использовать для предсказания будущего из настоящего, учитывая текущее состояние и то, как далеко вы хотите зайти.

В моих комментариях под постом @Andrew я немного обсудил эту часть, и проблема довольно тонкая: фазовое пространство — это текущее состояние системы , однако мы можем концептуализировать историю, сгенерированную путем применения одного $\Phi$ семьи в течение определенного периода времени, затем применить еще один после этого, а затем еще один, и так далее и тому подобное. Это не была бы динамическая система по данному определению, но она представляла бы «изменяющийся закон физики» точно так, как мы думаем о противопоставлении теоремы Нётер, учитывая, что мы принимаем $\Phi$ быть объектом, уточняющим понятие «закона физики».

Следовательно, чтобы обсуждать теорему Нётер как о временной, так и о пространственной трансляционной симметрии, как о нетривиальном утверждении, мы должны признать, что данное нами определение динамики было в некотором смысле слишком строгим. Одно потенциально более свободное определение для отражения вышеизложенного состоит в том, что семейство карт $\Phi$ имеет как приращение времени , так и начальное время , в которое должно быть применено указанное приращение: мы могли бы изменить обозначение на $\Phi_{t, \Delta t}$ вместо этого, чтобы подчеркнуть, что это больше не простой итеративный процесс. Семантическое значение этой карты состоит в том, чтобы «интерпретировать переданное физическое состояние как удерживание в конкретный момент времени». $t$ . Затем развивайте его вперед $\Delta t$ согласно соответствующим законам того времени». И мы требуем следующего: опять же,

Φ_{т, 0} (п) "=" п

$\Phi_{t,0}(P) = P$

но теперь мы изменим полугрупповой закон на

Φ_{т + Δ т, Δ с} (Φ_{т, Δ т} (п)) "=" Φ_{т, Δ т + Δ с} (п)

$\Phi_{t+\Delta t,\Delta s}(\Phi_{t, \Delta t}(P)) = \Phi_{t, \Delta t + \Delta s}(P)$

где мы отмечаем теперь дальнейшую эволюцию по $\Delta s$ должен быть запущен явно в тот момент времени, когда первая эволюция $\Delta t$ остановлено, т.е. $t + \Delta t$ с начального времени $t$ в каком состоянии $P$ действует. Эта часть необходима, потому что к этому моменту законы могли измениться.

В этом формализме временная трансляционная симметрия может быть определена как утверждение, что $\Phi_{t,\Delta t}(P)$ не зависит от времени начала $t$ , и, таким образом, теперь это больше не тривиальное утверждение — у нас могут быть случаи, когда оно терпит неудачу. Или, другими словами, темпоральная трансляционная симметрия на самом деле является утверждением, что динамика в данном фазовом пространстве образует динамическую систему, как мы определили ее ранее.

Тем не менее, кажется возможным расширить фазовое пространство, и тогда мы снова сталкиваемся с той же проблемой. Однако именно здесь приходит ответ @Qmechanic: энергия — это не просто какая-то старая случайная величина, которую мы можем сохранить со временем. Это очень специфическая такая сохраняющаяся величина - и это потребует дальнейшего объяснения, и именно здесь мой ответ должен выявить его пристрастность.

ршвиб · Answer 5

Вот мой взгляд на заглавный вопрос. Почему сохранение энергии и теорема Нётер являются нетривиальными утверждениями?

Рассмотрим эту цитату из Исчисления Спивака на многообразиях.

Теорема Стокса разделяет три важных атрибута со многими полностью развитыми основными теоремами:

это тривиально

Это тривиально, потому что термины, появляющиеся в нем, были правильно определены.

Это имеет значительные последствия

Я чувствую, что теорема Нётер определенно относится к тому же типу, что упоминается здесь, и я действительно видел, что в некоторых формулировках ее называют «тривиальной». Например, в статье Баэза «Достижение сути теоремы Нётер» он делает такие замечания, как

«Сведя теорему Нётер к тривиальности, работая только с образующими...»

«Однако в чем смысл антисимметрии скобки? До сих пор мы просто постулировали ее в определении алгебры Пуассона, таким образом, по сути, с самого начала встраивая теорему Нётер».

Также см. Хаджинс. Понимание теоремы Нётер с помощью симплектической геометрии.

В этой статье будет показано, что теорему Нётер, как и все великие теоремы, легко сформулировать и доказать, как только будет разработана надлежащая математическая теория, которой в данном случае будет теория симплектических многообразий.

На мой взгляд, в этом есть все признаки точки зрения Спивака на теорему Стокса. Любой, кто хорошо разбирается во всех механизмах, используемых для доказательства теоремы Нётер, вполне может сказать, что это кажется тривиальным, и это именно потому, что они имеют преимущество в правильном механизме.

Алгебра Ли, в которой Нётер был экспертом, безусловно, содержит все предпосылки для понимания, необходимого для доказательства теоремы, но я думаю, что симплектическая геометрия на многообразиях, хотя и существовала, в то время была малоизвестна. Но после 1960-х годов симплектическая геометрия стала довольно известной. С тех пор математики в течение многих лет массировали утверждение и определения, чтобы максимизировать их потенциал для объяснения вещей, включая сохранение энергии (через тривиальное уравнение $\{H, H\}=0$ .) Таким образом, мы склонны стать жертвой «проклятия знания» и удивляться, как ранние читатели могли волноваться из-за чего-то, что кажется нам тривиальным.

Поэтому, учитывая все это, я думаю, что большинство людей согласятся с тем, что теорема Нётер — нетривиальный результат в том смысле, что лежащие в ее основе идеи объединяются в полезную и не совсем очевидную теорему, даже если ее доказательство может быть записано очень кратко с использованием современных концепций. Я не думаю, что кто-то питает иллюзии относительно его сложности.

пользователь1379857 · Answer 6

Есть два основных способа сформулировать классическую механику: с помощью лагранжиана или с помощью гамильтониана. В своем вопросе вы по существу дали определение классической механики, очень напоминающее гамильтонову механику (без определения симплектической формы, но не будем вдаваться в нее).

Дело в том, что в гамильтоновой механике трансляционная симметрия времени действительно тривиальна, вы правы. Более конкретно, перевод времени генерируется векторным полем $X_H$ на фазовом пространстве, где $H$ ваша энергетическая функция, определяемая

{Икс}_{ЧАС} (ф) \equiv {ф, ЧАС} .

$X_H(f) \equiv \{f, H\}.$ По тривиальному уравнению

\frac{d}{d t} H = {H, H} = 0

$\frac{d}{dt} H = \{H,H\} = 0$ , мы можем видеть, что энергия действительно сохраняется.

Итак, в гамильтоновой механике трансляционная симметрия времени действительно «запечена в пироге», и вы действительно правы.

Однако в лагранжевой формулировке все не так просто. Если у вас есть полностью общий лагранжиан, $L(q_i, p_i, t)$ , что явно зависит от времени $t$ , то энергия не сохранится. Только когда лагранжиан не зависит от времени, $L = L(q_i,p_i)$ , будет сохраняться энергия.

Действительно, Эмми Нётер сформулировала свою первоначальную теорему в рамках Лаганжа.

На самом деле, в рамках гамильтониана вы также можете иметь зависящие от времени гамильтонианы, $H(t)$ . В этих случаях энергия также не будет сохраняться.

Чтобы узнать больше об этом, ознакомьтесь с моим «Манифестом: что такое симметрия на самом деле?» в этом ответе здесь:

https://физика.stackexchange.com/a/461762/157704

Почему сохранение энергии и теорема Нётер нетривиальны?

The_Sympathizer

Ричард Майерс

The_Sympathizer

миридий

пользователь 253751

Ответы (6)

Андрей

The_Sympathizer

The_Sympathizer

The_Sympathizer

Роджер Вадим

Qмеханик

The_Sympathizer

Qмеханик

The_Sympathizer

Qмеханик

The_Sympathizer

ршвиб

пользователь1379857

Теорема Нётер: форма бесконечно малого преобразования

Какое значение теоремы Нётер в физике?

Почему симметрии в фазовом пространстве порождаются функциями, оставляющими гамильтониан инвариантным?

Теорема Эмми Нётер в более простых терминах

Теорема Нётер о трансляционной симметрии пространства

Что означает инвариантность системы относительно вращения?

Почему теорема Нётер важна?

Теорема Нётер: существуют сохраняющиеся величины, соответствующие симметрии положения, ориентации и времени, но почему не скорости?

Небрежно ли говорить, что изотропия пространства приводит к сохранению углового момента?

Непрофессиональная версия теоремы Нётер (или интуиция, стоящая за ней)