Почему теорема Нётер важна?

Question

Почему теорема Нётер важна?

Дефкон97

Я только начинаю разбираться в аналитической механике, поэтому этот вопрос может показаться некоторым из вас странным или тривиальным.

В классе I познакомили с теоремой Нётер, которая утверждает, что если функция Лагранжа инвариантна относительно непрерывной группы преобразований, то можно найти закон сохранения.

Но лагранжева система с $n$ степеней свободы подчиняется уравнениям Эйлера-Лагранжа, а именно:

\frac{г}{г т} \frac{\partial л}{\partial \dot{д_{я}}} - \frac{\partial л}{\partial д_{я}} знак равно 0

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}-\frac{\partial L}{\partial q_i} = 0$

за $i = 1, ..., n$ .

Это уравнение представляет собой систему $n$ дифференциальные уравнения второго порядка, которые уже имеют $2n$ произвольные константы в его общем решении.

Эти константы, очевидно, должны сохраняться во времени, поэтому они фактически представляют собой законы сохранения.

Итак, мой вопрос: какая польза от теоремы, которая говорит вам, при каких условиях можно найти закон сохранения, если мы уже знаем из уравнений Эйлера-Лагранжа, что лагранжева система имеет $2n$ законы сохранения?

ПМЛ

Разумеется, для рассматриваемого случая они эквивалентны. Извините, если прозвучало так, будто я имел в виду, что вы что-то не так написали (или вас ввел в заблуждение ваш учитель). Я имел в виду, что теорема кажется тривиальной в случае лагранжевой механики, потому что, как вы заметили, ее легко проверить из уравнений EL. Действительно, концепция инвариантных непрерывных преобразований (в некотором смысле симметрий) делает теорему более общей.

ПМЛ

Кстати, я бы не беспокоился о том, что концепции в вики-статье сложны для понимания. Если вы продолжите изучать физику (и математику), то поймете, что там кристально ясно.

Дж. Мюррей

Важно отметить, что теорема Нётер не просто говорит нам, когда существуют законы сохранения, она прямо говорит нам, как построить сохраняющиеся величины и связанные с ними токи.

Qмеханик

Связано: physics.stackexchange.com/q/8626/2451 , physics.stackexchange.com/q/21572/2451 и ссылки в них.

Дж. Мануэль

Если решить уравнение Эйлера-Лагранжа для частицы в постоянном гравитационном поле (может быть, это классическая задача о свободном падении), вы получите для оси у следующее решение:

y = \frac{1}{2} g t^{2} + c_{1} t + c_{2}

$y= \frac{1}{2}gt^2+c_1t+c_2$ Применив к задаче начальные условия, вы поймете, что

c_{1}

$c_1$ это просто начальная скорость

v_{0}

$v_0$ и

c_{2}

$c_2$ начальная высота

h_{0}

$h_0$ . Следовательно,

c_{1}

$c_1$ и

c_{2}

$c_2$ скорости и положения. Неизвестно, что они являются «законсервированными» величинами.

Магу

Это так очевидно. Это важно, потому что, если бы у нас его не было, нам пришлось бы придумывать Нётеровский.

Ответы (3)

Почему теорема Нётер важна?

Разумеется, для рассматриваемого случая они эквивалентны. Извините, если прозвучало так, будто я имел в виду, что вы что-то не так написали (или вас ввел в заблуждение ваш учитель). Я имел в виду, что теорема кажется тривиальной в случае лагранжевой механики, потому что, как вы заметили, ее легко проверить из уравнений EL. Действительно, концепция инвариантных непрерывных преобразований (в некотором смысле симметрий) делает теорему более общей.
Кстати, я бы не беспокоился о том, что концепции в вики-статье сложны для понимания. Если вы продолжите изучать физику (и математику), то поймете, что там кристально ясно.
Важно отметить, что теорема Нётер не просто говорит нам, когда существуют законы сохранения, она прямо говорит нам, как построить сохраняющиеся величины и связанные с ними токи.
Связано: physics.stackexchange.com/q/8626/2451 , physics.stackexchange.com/q/21572/2451 и ссылки в них.
Если решить уравнение Эйлера-Лагранжа для частицы в постоянном гравитационном поле (может быть, это классическая задача о свободном падении), вы получите для оси у следующее решение: $y= \frac{1}{2}gt^2+c_1t+c_2$ Применив к задаче начальные условия, вы поймете, что $c_1$ это просто начальная скорость $v_0$ и $c_2$ начальная высота $h_0$ . Следовательно, $c_1$ и $c_2$ скорости и положения. Неизвестно, что они являются «законсервированными» величинами.
Это так очевидно. Это важно, потому что, если бы у нас его не было, нам пришлось бы придумывать Нётеровский.

пользователь1379857 · Answer 1

Обычно мы называем уравнения вида

\frac{г}{г т} \frac{\partial л}{\partial \dot{д_{я}}} - \frac{\partial л}{\partial д_{я}} знак равно 0

$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0$

«уравнения движения», потому что это уравнения, которые говорят нам, как переменные нашей системы (здесь $q_i$ ) развиваться во времени. Действительно, в общем случае решение $n$ дифференциальные уравнения второго порядка включают $2n$ константы интегрирования (или начальные условия) в решении. Однако большинство людей не стали бы называть эти константы интегрирования «законами сохранения». В общем случае «сохраняемое количество». $Q$ является функцией переменных конфигурации (здесь $q_i$ и $\dot q_i$ ), который не меняется во времени при эволюции переменных конфигурации по уравнениям движения:

\frac{г}{г т} Вопрос (д_{я}, {\dot{д}}_{я}) знак равно 0.

$\frac{d}{dt} Q(q_i, \dot q_i) = 0.$

Обратите внимание, что $Q(q_i, \dot q_i)$ не зависит от $t$ явно; это зависит только от $t$ поскольку $q_i$ и $\dot q_i$ делать. Однако начальное состояние зависит от $q_i$ , $\dot q_i$ , и $t$ . Ты должен знать $t$ чтобы узнать, «насколько повернуть время вспять», чтобы найти начальное положение и скорость.

Изящное «доказательство» теоремы Нётер выглядит следующим образом. Скажем, у вас есть некоторая дифференцируемая группа преобразований, которые оставляют ваш лагранжиан инвариантным. Представьте себе изменение пути в конфигурационном пространстве бесконечно малым групповым действием с использованием крошечного числа $\varepsilon$ . Например, бесконечно малый перевод в $x$ -направление в трехмерном пространстве ( $i = 1, 2, 3$ ) будет дано

д_{1} \to д_{1} + ε

$q_1 \to q_1 + \varepsilon$

д_{2} \to д_{2}

$q_2 \to q_2$

д_{3} \to д_{3}

$q_3 \to q_3$

{\dot{д}}_{я} \to {\dot{д}}_{я}

$\dot q_i \to \dot q_i$

и бесконечно малое вращение в $xy$ -самолет будет предоставлен

д_{1} \to д_{1} + ε д_{2}

$q_1 \to q_1 + \varepsilon q_2$

д_{2} \to д_{2} - ε д_{1}

$q_2 \to q_2 - \varepsilon q_1$

{\dot{д}}_{1} \to {\dot{д}}_{1} + ε {\dot{д}}_{2}

$\dot q_1 \to \dot q_1 + \varepsilon \dot q_2$

{\dot{д}}_{2} \to {\dot{д}}_{2} - ε {\dot{д}}_{1}

$\dot q_2 \to \dot q_2 - \varepsilon \dot q_1$

д_{3} \to д_{3}

$q_3 \to q_3$

{\dot{д}}_{3} \to {\dot{д}}_{3}

$\dot q_3 \to \dot q_3$

При этих преобразованиях лагранжиан $L(q_i, \dot q_i)$ не изменит своего значения. Другими словами, изменение лагранжиана можно выразить как

дельта л (д_{я}, {\dot{д}}_{я}) знак равно ε А (д_{я}, {\dot{д}}_{я})

$\delta L(q_i, \dot q_i) = \varepsilon A(q_i, \dot q_i)$

куда $A = 0$ если групповое действие является симметрией. Вот изящная часть: теперь представьте, что параметр $\varepsilon$ зависит от времени, т.е. $\varepsilon(t)$ . Для наших двух вышеуказанных действий преобразования станут

д_{1} \to д_{1} + ε

$q_1 \to q_1 + \varepsilon$

{\dot{д}}_{1} \to {\dot{д}}_{я} + \dot{ε}

$\dot q_1 \to \dot q_i + \dot \varepsilon$

д_{2} \to д_{2}

$q_{2} \to q_{2}$

д_{3} \to д_{3}

$q_{3} \to q_{3}$

{\dot{д}}_{2} \to {\dot{д}}_{2}

$\dot q_{2} \to \dot q_{2}$

{\dot{д}}_{3} \to {\dot{д}}_{3}

$\dot q_{3} \to \dot q_{3}$

и

д_{1} \to д_{1} + ε д_{2}

$q_1 \to q_1 + \varepsilon q_2$

д_{2} \to д_{2} - ε д_{1}

$q_2 \to q_2 - \varepsilon q_1$

{\dot{д}}_{1} \to {\dot{д}}_{1} + ε {\dot{д}}_{2} + \dot{ε} д_{2}

$\dot q_1 \to \dot q_1 + \varepsilon \dot q_2 + \dot \varepsilon q_2$

{\dot{д}}_{2} \to {\dot{д}}_{2} - ε {\dot{д}}_{1} - \dot{ε} д_{1}

$\dot q_2 \to \dot q_2 - \varepsilon \dot q_1 - \dot \varepsilon q_1$

д_{3} \to д_{3}

$q_3 \to q_3$

{\dot{д}}_{3} \to {\dot{д}}_{3}

$\dot q_3 \to \dot q_3$

(где дополнительный член выше происходит из правила произведения при дифференцировании на $t$ ).

В настоящее время, $\varepsilon(t)$ и $\dot \varepsilon(t)$ оба являются крошечными числами, которые меняют пути в пространстве конфигурации. Это означает, что просто выполняя разложение Тейлора первого порядка, изменение $L$ при этих преобразованиях можно выразить как

дельта л знак равно ε А + \dot{ε} Б

$\delta L = \varepsilon A + \dot \varepsilon B$

где $A$ та же $A$ как прежде, значит $A = 0$ если преобразование является симметрией. Теперь, на реальных путях, $\delta S = 0$ для любого крошечного изменения, которое мы делаем на нашем пути. (Это всего лишь принцип наименьшего действия.) Это включает в себя нашу крошечную вариацию группового действия. Поэтому на реальных путях

0 знак равно дельта С знак равно \int дельта л г т знак равно \int \dot{ε} Б г т знак равно - \int ε \dot{Б} г т .

$0 = \delta S = \int \delta L dt = \int \dot \varepsilon B dt = - \int \varepsilon \dot B dt.$

(На последнем шаге мы интегрировали по частям и наложили граничные условия $\varepsilon = 0$ на границе интегрирования.)

Следовательно, если $\delta S$ должен быть $0$ для любой $\varepsilon$ , мы должны иметь

\dot{Б} знак равно 0

$\dot B = 0$

так $B$ является сохраняющейся величиной. Обратите внимание, что если бы наше преобразование не было симметрией, то $A \neq 0$ и

\dot{Б} знак равно А

$\dot B = A$

означающий, что $B$ изменится во времени и не будет сохраняющейся величиной. На этом завершается доказательство того, что симметрии дают законы сохранения, а также рассказывается, как найти указанные сохраняющиеся величины.

Теперь все красиво и интересно. Симметрии влекут за собой законы сохранения. В некотором смысле мы поняли, откуда берутся «сохраняющиеся величины» (симметрии). Сохраняющиеся величины очень полезны в физике, потому что обычно они значительно облегчают анализ системы. Например, даже в интро-физике закон сохранения импульса и энергии всегда используется для того, чтобы значительно облегчить поиск движения частицы. В более сложных примерах, таких как, например, газ, состоящий из многих частиц, эволюция системы слишком сложна, чтобы когда-либо надеяться ее описать. Однако, если вы знаете несколько сохраняющихся величин (например, энергию), вы все равно можете получить довольно хорошее представление о том, как ведет себя система.

В квантовой теории поля квантовые поля также подчиняются лагранжианам. Однако часто бывает трудно точно определить, какой лагранжиан квантовых полей должен быть основан на экспериментальных данных. Однако то, что легко установить из экспериментальных данных, является сохраняющимися величинами., такие как заряд, лептонное число, барионное число, слабое гиперизменение и многие другие. Экспериментаторы могут выяснить, что представляют собой эти сохраняющиеся величины, а затем теоретики приготовят лагранжианы с симметриями, которые имеют правильные сохраняющиеся величины. Это очень помогает теоретикам в выяснении фундаментальных законов физики. Соображения симметрии и сохраняющихся величин исторически играли большую роль в составлении стандартной модели и продолжают играть решающую роль в попытках теоретиков выяснить, что лежит за ее пределами.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Итак, чтобы правильно ответить на ваш вопрос, любая система дифференциальных уравнений будет иметь константы интегрирования (начальные условия AKA). Однако из уравнений движения, полученных из лагранжиана (а все известные физические законы можно записать с помощью лагранжиана), мы получаем дополнительные симметрии, имеющие важный физический смысл. Кроме того, точные решения дифференциальных уравнений обычно невозможно найти для какой-либо умеренно сложной системы. Поэтому нахождение начальных условий обычно является пустой тратой времени, а теоремой Нётер пользоваться легко.

Почему $\varepsilon$ маленький намек $\dot\varepsilon$ небольшой? Это предположение о $\varepsilon$ ?
Ну, раз уж ты можешь выбирать вариации $\varepsilon$ , вы действительно можете навязать это $\dot \varepsilon$ маленький. Кроме того, другой (возможно, несколько более строгий способ) вариационного исчисления состоит в том, чтобы принять вариацию пути за $\varepsilon \eta(t)$ , куда $\eta$ не является бесконечно малым, и $\varepsilon$ постоянно. Так долго как $\dot \eta$ ограничен сверху, $\varepsilon \dot \eta$ сократится как $\varepsilon \to 0$ .
Кому еще интересны подробности, $A$ на самом деле не должно быть $0$ чтобы преобразование было симметричным, $A$ должна быть только полной производной по времени, скажем $A = \dot C$ . В таком случае, $B - C$ тогда будет полная сохраняемая величина. Хорошим примером этого является перевод времени. Под временным переводом $q \to q + \varepsilon \dot q$ , наш " $A$ " было бы $A = \dot L$ , и $B - L$ оказывается энергия.

свободный · Answer 2

Константы 2n в системе дифференциальных уравнений второго порядка (уравнения Лагранжа) — это и есть произвольные начальные условия обобщенных координат и скоростей системы, определяющие развитие системы во времени для частного случая. Они не являются сохраняющимися величинами системы. Сохраняющиеся величины следуют из функциональной формы функции Лагранжа.

ДЖЭБ · Answer 3

Теорема Нётер очень важна, так как она охватывает «большие» законы сохранения:

Инвариантность во времени подразумевает сохранение энергии.

Трансляционная инвариантность (однородность пространства) подразумевает сохранение импульса.

Вращательная инвариантность (изотропия пространства) подразумевает сохранение углового момента.

Более того, это зависит от того, что вы считаете своей системой: рассмотрим мяч в коробке в гравитации. Это не зависит от времени, и энергия сохраняется, но вам нужно добавить потенциальную энергию к кинетической энергии. Импульс не сохраняется, потому что потенциальная энергия зависит от высоты. Обратите внимание, что пространство инвариантно относительно горизонтального переноса, и фактически горизонтальные компоненты импульса сохраняются (ну, пока он не столкнется со стеной, нарушающей симметрию).

Точно так же угловой момент маятника Фуко не сохраняется — существует предпочтительное направление в пространстве, определяемое земной осью.

Более сложные вещи, такие как локальная калибровочная симметрия, привели к ЭМ и КХД, и, конечно же, калибровочная симметрия, нарушающая массовые члены в слабом взаимодействии, была одной из причин появления бозона Хиггса.

Существуют также дискретные симметрии, которые приводят к дискретным законам сохранения — например, четность.

Почему теорема Нётер важна?

Дефкон97

ПМЛ

ПМЛ

Дж. Мюррей

Qмеханик

Дж. Мануэль

Магу

Ответы (3)

пользователь1379857

и понял

пользователь1379857

пользователь1379857

свободный

ДЖЭБ

Теорема Нётер: форма бесконечно малого преобразования

Теорема Нётер о трансляционной симметрии пространства

Ньютоновская и лагранжева симметрия

Есть ли что-то еще в теореме Нётер?

Вывод закона инерции из метода Лагранжа (Ландау)

Задача с теоремой Нётер для доказательства сохранения энергии

Следует ли сохранение вронскиана из принципа Нётер?

Суммарная энергия в реономных системах

Можно ли интуитивно понять теорему Нётер?

Какое значение теоремы Нётер в физике?