Теорема Нётер о трансляционной симметрии пространства

Трансляционная симметрия в смысле стандартной формулировки теорем Нётер означает инвариантность лагранжиана относительно действия группы пространственных сдвигов. В вашем примере это не так, потому что$U$не допускает такой инвариантности.

Однако существует и другая, более физическая версия идеи трансляционной инвариантности физической системы:

Класс решений уравнения движения инвариантен относительно пространственных перемещений.

Другими словами, если

$$x=x(t)$$ есть решение с начальными условиями $$x(0)=x_0\:,\quad \frac{dx}{dt}|_{t=0}=\dot{x}_0\:,$$ решение с начальными условиями $$x(0)=x_0 + s\:,\quad \frac{dx}{dt}|_{t=0}=\dot{x}_0$$ должно быть $$x=x(t)+s$$ то есть исходное решение каждый раз менялось на один и тот же исходный заданный перевод. $t$. Этот факт отнюдь не тривиален.

Это требование инвариантности действительно для вашего примера, как вы можете проверить напрямую. Однако, поскольку это требование инвариантности слабее, чем то, которое используется в стандартной версии теоремы Нётер, оно не означает, что импульс сохраняется .

В лагранжевой формулировке два понятия инвариантности не эквивалентны. Из нётеровского следует второй, но обратная импликация неверна. В гамильтоновой формулировке они эквивалентны, если мы ограничиваемся рассмотрением канонических преобразований .

Однако возникает естественный вопрос, подразумевает ли это более слабое понятие инвариантности вашей системы существование сохраняющейся величины (отличной от импульса). В нашем случае ответ положительный. На самом деле существует другая, более слабая версия теоремы Нётер, утверждающая, что если лагранжиан не инвариантен относительно однопараметрического ($\epsilon$) группа преобразований

$$x \to x_\epsilon\:, \quad \dot{x} \to \dot{x}_\epsilon = \frac{d}{dt}x_\epsilon$$ но при первом порядке по параметру $\epsilon$, преобразованный лагранжиан отличается от исходного только полной производной $$\frac{d}{dt}f(t,x) = \frac{\partial f}{\partial x}\dot{x} + \frac{\partial f}{\partial t}$$ то существует сохраняющаяся величина вдоль решения уравнений движения: $$I(t,x, \dot{x}) = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \partial_\epsilon x_\epsilon|_{\epsilon=0} - f(t,x)\:.$$ Доказательство является тривиальным обобщением известного классического доказательства. В рассматриваемом случае $$L(t,x, \dot{x}) = \frac{m}{2}\dot{x}^2 - ax-b\:.$$ Таким образом, поскольку наша группа преобразований $$x \to x+\epsilon\:, \quad \dot{x} \to \dot{x}\:,$$ у нас есть $$\partial_{\epsilon}|_{\epsilon=0} L(t,x_\epsilon, \dot{x}_\epsilon)= -a = \frac{d}{dt} (-at)\:.$$ Делаем вывод, что существует сохраняющаяся величина. Это $$I(t,x, \dot{x}) = m \dot{x} + at\:.$$ Апостериори это очевидно из самих уравнений движения, но также возникает из-за слабой симметрии лагранжиана.

Лагранжиан

$$\begin{equation} L = \frac{1}{2} \dot{x}^2 - ax-b. \end{equation}$$

Представляем пространственный перевод$x \rightarrow x+\Delta$для постоянного$\Delta$Мы видим, что

$$\begin{equation} L \rightarrow L' = \frac{1}{2} \dot{x}^2 - ax - a\Delta -b. \end{equation}$$

Поэтому действие изменяется как

$$\begin{equation} \delta S = \int{dxdt \; (L'-L)} = \int{dx dt \; (-a\Delta)} \neq 0. \end{equation}$$

Поэтому$U(x)$нарушил трансляционную симметрию. Не может быть связанного сохраняющегося тока.

I) Пусть лагранжиан

$$\tag{1} L~=~\frac{m}{2}v^2-U(x), \qquad v~:=~\dot{x}.$$

Пусть сила

$$\tag{2} F~=~-U'(x)$$

быть константой.

II) Бесконечно малые переводы

$$\tag{3} \delta x~=~\varepsilon$$

является квазисимметрией

$$\tag{4} \delta L ~=~\varepsilon \frac{df}{dt}, \qquad f~:=~Ft$$

лагранжиана (1). Здесь$\varepsilon$является бесконечно малым параметром. Соответствующий голый нётеровский заряд равен

$$\tag{5} Q^0 ~:=~p, \qquad p~:=~\frac{\partial L}{\partial v}~=~mv,$$

поэтому соответствующий полный нётеровский заряд равен

$$\tag{6} Q~:=~Q^0-f~=~mv - Ft.$$

Теорема Нётер утверждает, что величина (6) сохраняется во времени, в чем легко убедиться.

III) Система также обладает другими квазисимметриями (и тем самым законами сохранения по теореме Нётер ). Например, следующее бесконечно малое преобразование

$$\tag{7} \delta x~=~\varepsilon t$$

является квазисимметрией

$$\tag{8} \delta L ~=~\varepsilon \frac{df}{dt}, \qquad f~:=~mx+\frac{F}{2}t^2$$

лагранжиана (1). Соответствующий голый нётеровский заряд равен

$$\tag{9} Q^0 ~:=~p t,$$

поэтому соответствующий полный нётеровский заряд равен

$$\tag{10} Q~:=~Q^0-f~=~mvt- mx -\frac{F}{2}t^2.$$

IV) Если немного подумать, то, вероятно, можно построить квазисимметрию, которой соответствующий нётеровский заряд является самим ускорением.

Теорема Нётер говорит нам, что сохраняющаяся величина связана с симметрией действия , где действие$S$дан кем-то:

$$S = \int L dt$$

где$L$является лагранжианом , заданным:

$$L = T - V$$

Поскольку потенциал$V$является функцией положения лагранжиана и, следовательно, действие не симметрично относительно перемещений в пространстве.