Теорема Эмми Нётер в более простых терминах

Две теоремы Нётер, arXive:physics/9807044 Грубо говоря, при наличии непрерывной (или приблизительно непрерывной — ряд Тейлора) симметрии должен существовать связанный с ней сохраняющийся ток (свойство). Учитывая сохраняющееся свойство, должна быть симметрия.

Однородное время - сохраняющаяся масса-энергия;
Однородное пространство - сохраняющийся импульс;
Изотропное пространство - сохраняющийся угловой момент;
Обратите внимание, что четность абсолютно прерывна и, следовательно, находится вне понимания Нётер.
$U(1)$калибровочное преобразование - электрический заряд;
$U(1)$калибровочное преобразование - число поколений лептона;
$U(1)$калибровочное преобразование - гиперзаряд;
$U(1)_Y$калибровочное преобразование - слабый гиперзаряд;
$U(2)$[нет$U(1)\times SU(2)$] - электрослабая сила;
$SU(2)$калибровочное преобразование - изоспин;
$SU(2)_L$калибровочное преобразование - слабый изоспин;
$P\times SU(2)$- G-четность;
$SU(3)$"витковое число" - барионное число;
$SU(3)$калибровочное преобразование - цвет кварка;
$SU(3)$(приблизительно) - аромат творога;
$SU(2)\times SU(3)$ $\left[U(1)\times SU(2)\times SU(3)\right]$- Стандартная модель.

Сохраняющаяся величина получается из каждой коммутирующей со временем симметрии и наоборот. Бездивергентный ток (сохраняющееся свойство) возникает, если лагранжиан или действие инвариантны относительно непрерывного преобразования. Каждой непрерывной симметрии действия соответствует сохраняющаяся величина из-за уравнений Эйлера-Лагранжа лагранжиана и наоборот. Каждой калибровочной симметрии действия соответствует тождество среди уравнений Эйлера-Лагранжа лагранжиана и обратное.

Физическая система с лагранжианом, инвариантным относительно преобразований симметрии группы Ли, имеет в случае группы с конечным (или счетно бесконечным) числом независимых инфинитезимальных образующих закон сохранения для каждого такого образующего и некоторые " зависимости» в случае большего бесконечного числа образующих (общая теория относительности и тождества Бьянки). Обратное верно.

Симметрия может быть нарушена явно - член в действии или уравнениях движения могут быть не инвариантны. Симметрия может быть нарушена аномально - не все симметрии классической теории существуют в соответствующей квантовой теории. Аномалия квантовой теории поля портит перенормируемость. Отсутствие аномалии в Стандартной модели имеет решающее значение. Симметрия может спонтанно нарушаться, если она является точной симметрией уравнений движения, а не частного их решения. Теорема Нётер выполняется, если симметрия не нарушается явно. Сохранение может быть ослаблено в подсистемах с пониженной симметрией (приближение борновского рассеяния, золотое правило Ферми, закон Снеллиуса).

Общая теория относительности не имеет ньютоновских законов сохранения.

Во-первых, теорема утверждает, что для любой системы, которую можно описать путем минимизации действия, если действие имеет симметрию, в системе должна существовать сохраняющаяся величина. Это не говорит о том, что для любой сохраняющейся величины должна быть симметрия.

Для сохранения массы нет симметрии (что было предположением). Позже Эйнштейн показал, что масса и энергия связаны. А инвариантность массы выпадает из инвариантности 4-векторных скалярных произведений, что не имеет отношения к теореме Нётер.

Было показано, что энергия сохраняется, поскольку в действии существует симметрия переноса времени. Сохранение заряда и тока проистекает из калибровочной симметрии в электромагнитных потенциалах.