Почему существует скорость убегания?

Я не знаю, поможет ли это вам, но то, чего вам не хватает, так это базового понимания исчисления, если хотите. Это непонимание порождало парадоксы со времен греков. См. «Ахиллес и черепаха» в Википедии.

Суть в том, что вы можете суммировать бесконечное количество «интервалов» (действительных чисел) и получить конечный результат. Например, если вы суммируете$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots$вы получаете 1 (совершенно конечное). Идея та же, что и с замедлением. Замедление немного уменьшает скорость в определенный промежуток времени, чем дальше вы находитесь, замедление становится меньше и снова снижает скорость, но немного меньше, чем раньше, и т. д. Суть в том, что сумма всех малых уменьшений скорости равна конечна , и если эта сумма меньше начальной скорости, то скорость никогда не достигнет нуля, и чайник всегда будет лететь дальше и никогда не возвращаться.

Например, если начальная скорость равна 2, а замедление уменьшает скорость небольшими шагами, как показано ниже.$2 -\frac{1}{2} -\frac{1}{4} -\frac{1}{8} -\frac{1}{16}\cdots$конечная скорость$2-1=1$, все равно позитив! Если бы он стартовал со скоростью меньше$1$, скорость станет отрицательной, и чайник снова упадет на планету. Я надеюсь, что это поможет вашей интуиции, но изучайте математику, это полезно ;)

5 не следует из 4. Я буду использовать только производную по времени, чтобы показать это. В качестве простого контрпримера к 5 рассмотрим экспоненциально убывающую скорость:

$v = V_0e^{-\alpha t}$

Ясно, что скорость асимптотически стремится к нулю. Каково ускорение?

$a = -\alpha V_0e^{-\alpha t}$

Таким образом, несмотря на то, что всегда имеет место ненулевое замедление, т. е. объект замедляется вечно, скорость никогда не достигает нуля.

Теперь рассмотрим объект со следующей скоростью:

$v = V_\infty + V_0e^{-\alpha t}$

Опять же, объект замедляется навсегда, и все же скорость приближается к постоянному, отличному от нуля значению.

Вот красивое математическое объяснение проблемы скорости убегания [1]

Короче говоря, высота, на которой скорость чайника станет равной нулю, очень и очень велика (~ бесконечность). Следовательно, тела, покидающие Землю со скоростью убегания, не возвращаются, хотя на них все еще может действовать сила тяжести.

[1] Исчисление: интуитивный и физический подход (второе издание) Морриса Клайна.

Уравнение скорости тела, брошенного вертикально вверх с поверхности Земли:

$v^2(h)=(v_o^2 – v_e^2)+v_e^2\frac{R}{h}$

куда
$v_o$- Начальная скорость,$v_e$- скорость убегания,$R$- радиус Земли,$h$- расстояние от центра Земли$(h>R)$

1) Если$v_o<v_e$тогда есть$h$в котором$v=0$:

$\large {h_{max}=R\frac{v_e^2}{v_e^2-v_o^2}}$

2) Если$v_o=v_e$тогда$v>0$в любом$h$:

$v^2(h)=v_e^2\frac{R}{h}$

3) Если$v_o=2v_e$тогда$v$не может быть меньше$\sqrt3\;v_e$:

$v^2(h)=3v_e^2+v_e^2\frac{R}{h}$

PS Уравнение начальной скорости легко вывести из уравнения сохранения энергии

$\large {\frac{mv_o^2}{2}-\frac{GMm}{R}=\frac{mv^2}{2}-\frac{GMm}{h}}$

и формула космической скорости:

$\large {v_e=\sqrt{\frac{2GM}{R}}}$

Я буду предполагать только то, что вы знаете об энергосбережении и, в частности, о формуле энергии чайника.

Мы знаем, что это постоянно. Рассмотрим сколь угодно большое расстояние$r$; если мы сможем решить для$v$, т.е. если$v^2>0$при заданной энергии и массе чайник может достичь этого расстояния и, если его ничто не остановит, будет достигать все больших и больших расстояний. С$\frac{ G M m}{r}$стремится к нулю как$r$неограниченно возрастает условие состоит в том, что$E>0$чтобы чайник сбежал. Фиксация$r=R_{earth}$и настройка$E=0$---поскольку это порог убегания--- позволяет нам найти скорость убегания на поверхности Земли.

По этому рассуждению можно подумать$E$как «кинетическая энергия в бесконечности»: если у чайника еще что-то осталось, то он действительно может ее достичь.

Каждое поле имеет граничное условие, при котором оно действительно. В области поля всегда запасается энергия. Чтобы преодолеть эту энергию, нам нужна внешняя энергия (может быть, механическая). Таким образом, это может произойти только тогда, когда на тело действует внешнее воздействие, которое изменяет КЭ тела, помогая телу выйти из поля и, следовательно, присутствует некоторая скорость, т.е. известная как скорость убегания.