Почему существует Torque?

Итак, @lemon дал хорошее объяснение в комментариях, которое удовлетворяет мой вопрос. Если у вас есть что добавить, пожалуйста.

Если вы вращаете тело (прикладывая крутящий момент), вы совершаете работу, чтобы повернуть его на угол. Такой же объем работы потребуется, чтобы покрыть этот угол, несмотря ни на что. На большем расстоянии от оси дуга больше, больше расстояние, чтобы покрыть тот же самый угол. Таким образом, если требуемая работа такая же, но она применяется на большем расстоянии, вам потребуется меньшее усилие.

Плечо момента влияет на силу крутящего момента, потому что большее плечо момента, радиус или перпендикулярное расстояние означают большее расстояние для охвата того же угла поворота.

Ничего себе, это на самом деле глубокий вопрос, требующий глубокого ответа.

То, как я интерпретирую ньютоновскую механику, заключается в том, что крутящий момент, как и линейная скорость, является результатом чего-то, происходящего на расстоянии . А именно, сила или вращение. Фактически, для меня силы и вращения являются фундаментальными для описания механики твердого тела, а крутящие моменты и скорости второстепенны.

Вот что вам нужно, чтобы полностью описать нагрузку на твердое тело:

1. Величина силы,$F$
2. направление силы,$\vec{e}$
3. Сила (ось) Местоположение$\vec{r}$ или крутящий момент в начале$\vec{\tau}$.

И вот производные свойства от этой информации:

1. Вектор силы,$\vec{F} = F \vec{e}$
2. Крутящий момент в начале,$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ или Сила (ось) Расположение$\vec{r} = \frac{\vec{F} \times \vec{\tau}}{F^2}$
3. Шаг силы (отношение линейного к угловому)$h = \frac{\vec{F} \cdot \vec{\tau}}{F^2}$

$$\boldsymbol{f} = \begin{Bmatrix} \vec{F} \\ \vec{\tau} \end{Bmatrix} = F \begin{Bmatrix} \vec{e} \\ \vec{r} \times \vec{e} + h \vec{e} \end{Bmatrix}$$

Аналогично для движения твердого тела:

1. Величина вращения,$\omega$
2. Направление вращения,$\vec{e}$
3. Вращение (ось) Местоположение$\vec{r}$ или скорость в начале$\vec{v}$.

И вот производные свойства от этой информации:

1. Вектор вращения,$\vec{\omega} = \omega \vec{e}$
2. Скорость в начале,$\vec{v} = \vec{r} \times \vec{\omega}$ или Вращение (ось) Расположение$\vec{r} = \frac{\vec{\omega} \times \vec{v}}{\omega^2}$
3. Шаг движения (отношение линейного к угловому)$h = \frac{\vec{\omega} \cdot \vec{v}}{\omega^2}$

$$\boldsymbol{v} = \begin{Bmatrix} \vec{\omega} \\ \vec{v} \end{Bmatrix} = \omega \begin{Bmatrix} \vec{e} \\ \vec{r} \times \vec{e} + h \vec{e} \end{Bmatrix}$$

Кроме того, импульс описывается так же, как силы:

1. Величина импульса,$p$
2. Направление импульса,$\vec{e}$
3. Импульс (ось) Местоположение$\vec{r}$ или Угловой момент в начале координат$\vec{L}$.

И вот производные свойства от этой информации:

1. Вектор импульса,$\vec{p} = F \vec{e}$
2. Угловой момент в начале координат,$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ или Импульс (ось) Местоположение$\vec{r} = \frac{\vec{p} \times \vec{L}}{p^2}$
3. Шаг импульса (отношение линейного к угловому)$h = \frac{\vec{p} \cdot \vec{L}}{p^2}$

$$\boldsymbol{p} = \begin{Bmatrix} \vec{p} \\ \vec{L} \end{Bmatrix} = p \begin{Bmatrix} \vec{e} \\ \vec{r} \times \vec{e} + h \vec{e} \end{Bmatrix}$$

Теперь основные уравнения механики описываются для твердого тела как:

$$\begin{align} \boldsymbol{p} &= \mathrm{I} \boldsymbol{v}\\ \boldsymbol{f} &= \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} \boldsymbol{p} \end{align}$$

с$\rm I$соответствующую матрицу пространственной инерции 6×6. Если центр масс находится в$\vec{r}_C$а матрица инерции 3 × 3 относительно центра масс равна$\mathcal{I}_C$затем

$${\rm I} = \begin{Bmatrix} m & -m [\vec{r}_C]\times \\ m [\vec{r}_C]\times & \mathcal{I}_C - m [\vec{r}_C]\times [\vec{r}_C]\times \end{Bmatrix}$$

Таким образом, из этого длинного пути вы видите, что крутящий момент напрямую не нужен, кроме как для передачи места, где проходят силы. Уравнение$\boldsymbol{p} = \mathrm{I} \boldsymbol{v}$имеет геометрическую интерпретацию, поскольку оба$\boldsymbol{p}$и$\boldsymbol{v}$линии в пространстве. Это уравнение представляет собой однозначное отображение, связанное с отношением полюс-поляра в планарной геометрии. Наконец, моментное плечо импульса$\ell$связано плечом момента вращения$c$с выражением$\ell = \frac{\kappa^2}{c}$где$\kappa$– радиус инерции твердого тела вдоль оси движения.

_{ПРИМЕЧАНИЕ:$\times$векторное перекрестное произведение и$\cdot$векторное скалярное произведение. Также$[\vec{c}\times]$- кососимметричная матрица 3 × 3 такая, что$[\vec{c}\times] \vec{a} = \vec{c} \times \vec{a}$}

_{Использованная литература:}

1. Пространственная инерция (слайды)
2. Пространственная векторная алгебра (pdf)

3. Вывод уравнений движения (этот сайт)

Ответ, который дал Лемон, интуитивно понятен, но я думаю, что его обоснование немного упрощено для краткости.

Вообще говоря, объект можно повернуть на любой угол с любым количеством проделанной работы. Предположим, что стержень находится в свободном пространстве, система имеет одинаковую энергию независимо от ориентации стержня. Когда вы вращаете стержень, вы сообщаете ему некоторый угловой момент вокруг оси. Работа, которую вы проделали на стержне,$\frac{1}{2} I \omega_\text{max}^2$(или тензорную форму для достаточно сложных вращений) по теореме о работе-энергии. Когда стержень останавливается, он выполняет ту же работу с объектом, который его остановил. В этом случае проделанная работа равна либо 0, либо функции скорости вращения, в зависимости от того, спрашиваете ли вы о том, до или после остановки стержня.

Есть несколько аргументов, которые мы можем использовать для рассмотрения этого вопроса. Сначала рассмотрим, возможно, более глубокий вопрос об угловом моменте. Крутящий момент относится к угловому моменту, как сила к линейному импульсу. «Причина крутящего момента увеличивается с плечом момента» заключается в том, что канонический импульс для координатного угла$\theta$имеет$mR$в качестве предварительного фактора$\dot{\theta}$. Когда мы используем угол$\theta$чтобы рассмотреть нашу проблему, релевантная масса для точечных объектов не$m$, его$mR$.

Есть ли другой способ, которым мы можем попытаться понять это, почему$m \to mR$когда мы работаем в полярных координатах? Ну, это потому что$\theta$не расстояние;$R \theta$является. Таким образом, расстояние, связанное со смещением$\delta \theta$является$R \delta \theta$. И виртуальная работа , связанная с этим перемещением против линейной силы$F$является$F R \delta \theta$. Вот почему вы можете выполнить больше работы с той же силой на большем расстоянии.$R$.

Вы запутались в том, что когда вы работаете с крутящими моментами и когда вы работаете с линейными силами, вы принципиально работаете в разных системах координат. Изменение в$\theta$связано с крутящим моментом так, как изменение$x$ассоциируется с силой. Когда вы хотите перевести силы в крутящие моменты, вы неявно переводите линейные координаты в полярные.

Вращательная версия второго закона Ньютона гласит:

Общий чистый крутящий момент, действующий на систему, равен произведению ее момента инерции и углового ускорения, которое она испытывает из-за этого крутящего момента.

Другая версия этого закона:

Суммарный чистый крутящий момент, действующий на систему, равен скорости изменения углового момента системы.

Таким образом, простой причиной существования любого ненулевого полного чистого крутящего момента будет несохранение углового момента в рассматриваемой системе; система не изолирована.

Спасибо,