Производная углового момента во вращающейся системе отсчета

Рассмотрим полную производную от$\vec{A}$в инерциальной системе отсчета,

$$\frac{d}{dt}\vec{A}=\hat{i}\frac{d}{dt}A_x+\hat{j}\frac{d}{dt}A_y+\hat{k}\frac{d}{dt}A_z+A_x\frac{d\hat{i}}{dt}+A_y\frac{d\hat{j}}{dt}+A_z\frac{d\hat{k}}{dt}.$$ В инерциальной системе$\frac{d\hat{i}}{dt}=\frac{d\hat{j}}{dt}=\frac{d\hat{k}}{dt}=0$. Таким образом, мы имеем, $$\frac{d\vec{A}}{dt}_{inertial}=\hat{i}\frac{d}{dt}A_x+\hat{j}\frac{d}{dt}A_y+\hat{k}\frac{d}{dt}A_z.$$ Теперь рассмотрим во вращающейся системе отсчета$\vec{A}=A_x^\prime\hat{i}^\prime+A_y^\prime\hat{j}^\prime+A_z^\prime\hat{k}^\prime$. Взяв полную производную, $$\frac{d}{dt}\vec{A}=\hat{i}^\prime\frac{d}{dt}A_x^\prime+\hat{j}^\prime\frac{d}{dt}A_y^\prime+\hat{k}^\prime\frac{d}{dt}A_z^\prime+A_x^\prime\frac{d\hat{i^\prime}}{dt}+A_y^\prime\frac{d\hat{j^\prime}}{dt}+A_z^\prime\frac{d\hat{k}^\prime}{dt}.$$ Обратите внимание, что во вращающейся системе отсчета такие величины, как$\frac{d\hat{i}^\prime}{dt}$не исчезай. Следовательно, полная производная по времени во вращающейся системе отсчета равна

$$\frac{d\vec{A}}{dt}=\frac{d\vec{A}}{dt}_{rotating}+A_x^\prime\frac{d\hat{i^\prime}}{dt}+A_y^\prime\frac{d\hat{j^\prime}}{dt}+A_z^\prime\frac{d\hat{k}^\prime}{dt}$$ $\frac{d\vec{A}}{dt}_{rotating}=\hat{i}^\prime\frac{d}{dt}A_x^\prime+\hat{j}^\prime\frac{d}{dt}A_y^\prime+\hat{k}^\prime\frac{d}{dt}A_z^\prime$- кажущаяся производная по времени вектора во вращающейся системе отсчета и комбинации$A_x^\prime\frac{d\hat{i^\prime}}{dt}+A_y^\prime\frac{d\hat{j^\prime}}{dt}+A_z^\prime\frac{d\hat{k}^\prime}{dt}$улавливает эффекты вращения. Теперь мы знаем соотношение между линейной скоростью и угловой скоростью,$\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=\omega\times\vec{r}$. Выбор$\vec{r}$быть равным$\hat{i}^\prime$,$\hat{j}^\prime$, и$\hat{k}^\prime$соответственно имеем, $$\begin{align}\frac{d\hat{i}^\prime}{dt}&=\omega\times\hat{i}^\prime\\\frac{d\hat{j}^\prime}{dt}&=\omega\times\hat{j}^\prime\\\frac{d\hat{k}^\prime}{dt}&=\omega\times\hat{k}^\prime\end{align}$$ Используя их, мы получаем вращающуюся рамку, $$\frac{d\vec{A}}{dt}=\frac{d\vec{A}}{dt}_{rotating}+\omega\times\vec{A}$$ Выбор$\vec{A}=\vec{L}$мы получаем, $$\frac{d\vec{L}}{dt}=\frac{d\vec{L}}{dt}_{rotating}+\omega\times\vec{L}=\vec{\tau}+\omega\times\vec{L}.$$

Я предпочитаю использовать это обозначение.

Компоненты произвольного вектора$\vec{x'}$во вращающейся системе преобразуются в инерциальную систему по этому уравнению:

$$\vec{x}=R\,\vec{x'}\tag 1$$

где R - матрица преобразования между вращающейся системой и инерциальной системой.

Производная по времени уравнения (1):

$$\vec{\dot{x}}=R\,\vec{\dot{x}'}+\dot{R}\,\vec{x'}\tag 2$$

с

$\dot{R}=R\,\tilde{\omega}\quad$и$\tilde{\omega}=\left[ \begin {array}{ccc} 0&-\omega_{{z}}&\omega_{{y}} \\ \omega_{{z}}&0&-\omega_{{x}}\\ -\omega_{{y}}&\omega_{{x}}&0\end {array} \right]$таким образом:

$$\vec{\dot{x}}=R\,\vec{\dot{x}'}+R\,\tilde{\omega}\,\vec{x'}\tag 3$$

умножить уравнение (3) слева на$R^T$

$$R^T\,\vec{\dot{x}}=\vec{\dot{x}'}+\vec{\omega}\times \vec{x'}$$

таким образом

$$\boxed{\left(\vec{\dot{x}}\right)_R=\left(\vec{\dot{x}'}\right)_R+ \left(\vec{\omega}\times \vec{x'}\right)_R}$$

где индекс R означает, что компоненты приведены во вращающейся системе.

Мне нравится понимать, что я делаю, но в данном случае я понятия не имею, почему производная дает этот дополнительный член.

Дополнительный термин довольно ясно понять с физической точки зрения следующим образом:

Рассмотрим гироскоп при отсутствии какого-либо внешнего крутящего момента. Гироскоп поддерживает фиксированный угловой момент относительно осей инерциальной системы отсчета.

Оси вращающейся системы отсчета вращаются относительно инерциальной системы, поэтому гироскоп должен вращаться относительно вращающейся системы. Это вращение без крутящего момента является дополнительным термином.