Почему световая волна инвертируется на границе с большим показателем преломления?

Причина не так очевидна, как в случае с веревками, но, по сути, она состоит в том, чтобы сделать поля согласующимися с электромагнитными граничными условиями, которые, в свою очередь, можно проследить до (1) закона напряжения Кирхгофа и (2) в них не могут протекать токи проводимости. диэлектрик.

Рассмотрим крошечную тонкую прямоугольную петлю, идущую параллельно интерфейсу, одна половина которой находится внутри одной среды, а другая половина — внутри другой. Общая$\oint \vec{E}\cdot \,{\rm d} \vec{r}$вокруг петли не должно быть ничего (закон напряжения Кирхгофа): в этом случае это можно увидеть, применив закон Фарадея к петле: поскольку она очень тонкая, через нее не проходит магнитный поток. Так:

Тангенциальные компоненты вектора электрического поля должны быть непрерывны на диэлектрической границе.

Рассуждая аналогично закону Ампера, мы получаем (поскольку для непроводящего диэлектрика нет тока поверхностного слоя, а значит, нет потока тока проводимости или тока смещения через тонкую петлю):

Тангенциальные компоненты вектора магнитного поля должны быть непрерывны на диэлектрической границе.

Подобные условия, которые можно вывести из двух законов Гаусса, примененных к небольшому цилиндрическому объему с концами по обе стороны от границы раздела, заключаются в том, что нормальные компоненты смещения$\vec{D}$и индукция$\vec{B}$также должны быть непрерывными, но для этого простого примера они нам не нужны.

Итак, рассмотрим плоскую волну, встречающуюся с границей раздела и распространяющуюся нормально к границе раздела. Есть три плоских волны: падающая, отраженная и прошедшая волны, а указанные выше условия непрерывности гарантируют, что электрическое поле всех этих волн имеет одинаковое направление. Поскольку магнитные поля плоских волн ортогональны электрическим полям, все магнитные поля должны быть одного направления, ортогональными падающему электрическому полю. Если$E_+$,$E_-$и$E_t$– падающая, отраженная и проходящая волны, то первое условие непрерывности:

$$E_+ + E_- = E_t\qquad(1)$$

Теперь мы делаем то же самое для магнитных полей, но учтем, что магнитное поле$H_-$будет в направлении, противоположном падающему, потому что вектор Пойнтинга (направление распространения) для отраженной волны обратный, таким образом:

$$H_+ - H_i = H_t\qquad(2)$$

Теперь поставим отношения, определяющие среды:$H_\pm = \sqrt{\frac{\epsilon_1}{\mu_1}} E_\pm = \frac{n_1}{c} H_pm$и$H_t=\frac{n_2}{c} E_t$и так:

$$\left(\begin{array}{cc}1&-1\\\frac{n_2}{c}&\frac{n_1}{c}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}E_t\\E_-\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}1\\\frac{n_1}{c}\end{array}\right) E_+$$

что при обращении матрицы дает коэффициенты отражения и передачи, в частности:

$$\frac{E_-}{E_+} = \frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}$$

который отрицателен всякий раз, когда$n_2 > n_1$т.е. когда волна переходит в оптически более плотную среду.