Почему так совпадает то, что вариация Палатини действия Эйнштейна-Гильберта приведет к уравнению, что связь есть связь Леви-Чивиты?

I) В Палатини $f(R)$ гравитация , лагранжева плотность равна$^1$

$${\cal L}(g,\Gamma)~=~ \frac{1}{2\kappa}\sqrt{-g} f(R) + {\cal L}_{\rm m}; \tag{1}$$

с лагранжевой плотностью вещества${\cal L}_{\rm m}$; со скалярной кривизной

$$R~:=~ g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}(\Gamma);\tag{2}$$

с кривизной Риччи $R_{\mu\nu}(\Gamma)$; и где

$$\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}~=~\Gamma^{\lambda}_{\nu\mu}\tag{3}$$

является произвольным без кручения$^2$связь.

II) Как упоминает OP, слово Палатини относится к тому, что метрика$g_{\mu\nu}$и связь$\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}$являются независимыми переменными$^3$. Таким образом, мы получаем два типа уравнений ЭЛ :

1. Уравнения ЭЛ

   $$f^{\prime}(R)R_{\mu\nu} -\frac{1}{2}f(R)g_{\mu\nu}~\stackrel{(1)+(5)}{\approx}~\kappa T_{\mu\nu} \tag{4}$$ для метрики$g_{\mu\nu}$являются обобщением EFE , где $$T^{\mu\nu}~:=~\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta S_{\rm m}}{\delta g_{\mu\nu}} \tag{5}$$ это материя Гильберта тензор энергии-импульса-импульса (SEM) . [В уравнении (4)$\approx$символ означает равенство по модулю уравнений движения. В этом ответе мы используем$(-,+,\ldots,+)$Минковский подписал конвенцию в$d$измерения пространства-времени.]

2. Если дело в действии$S_{\rm m}$не зависит от подключения$\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}$, то уравнения ЭЛ

   $$\nabla_{\lambda}\hat{\mathfrak{g}}^{\mu\nu} ~\stackrel{(1)}{\approx}~0,\qquad \hat{\mathfrak{g}}^{\mu\nu} ~:=~\sqrt{-g} f^{\prime}(R) g^{\mu\nu} ~\stackrel{(8)}{=}~\sqrt{-\hat{g}} \hat{g}^{\mu\nu}, \tag{6}$$ для связи$\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}$оказаться условием совместимости метрик $$\nabla_{\lambda}\hat{g}_{\mu\nu} ~\stackrel{(6)+(8)}{\approx}~0\tag{7}$$ для конформно эквивалентной метрики $$\hat{g}_{\mu\nu}~:=~f^{\prime}(R)^{\frac{2}{d-2}} g_{\mu\nu}, \tag{8}$$ известная как метрика кадра Эйнштейна . Другими словами, классическое решение для$\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}$является связностью Леви-Чивиты для метрики репера Эйнштейна$\hat{g}_{\mu\nu}$.

III) Итак, гравитация Эйнштейна (ОТО) с возможной космологической постоянной

$$f(R)~=~R-2\Lambda,\tag{9}$$

или эквивалентно

$$f^{\prime}(R)~=~1,\tag{10}$$

соответствует частному случаю, когда две метрики$g_{\mu\nu}$а также$\hat{g}_{\mu\nu}$совпадают, а значит$\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}$становится соединением Levi-Civita для$g_{\mu\nu}$.

--

$^1$Плотность лагранжиана (1) естественно заменить расширенной плотностью лагранжиана

$$\tilde{\cal L}(g,\Gamma,\Phi)~=~ \frac{1}{2\kappa}\sqrt{-g}\{\Phi R-V(\Phi)\} + {\cal L}_{\rm m}; \tag{11}$$

со вспомогательным скалярным дилатонным полем$\Phi$; а где потенциал

$$V(\Phi)~:=~\sup_r(\Phi r -f(r))\tag{12}$$

является преобразованием Лежандра функции$f$. Если мы проинтегрируем вспомогательное скалярное поле$\Phi$, то мы возвращаемся к$f(R)$Лагранжева плотность (1), с которой мы начали! Уравнения ЭЛ

$$\nabla_{\lambda}\hat{\mathfrak{g}}^{\mu\nu} ~\stackrel{(1)}{\approx}~0,\qquad \hat{\mathfrak{g}}^{\mu\nu} ~:=~\sqrt{-g} \Phi g^{\mu\nu} ~\stackrel{(14)}{=}~\sqrt{-\hat{g}} \hat{g}^{\mu\nu}, \tag{13}$$

для связи$\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}$становятся метрическим условием совместимости (7) для фреймовой метрики Эйнштейна

$$\hat{g}_{\mu\nu}~:=~\Phi^{\frac{2}{d-2}} g_{\mu\nu}. \tag{14}$$

После подключения$\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}$проинтегрирована, плотность лагранжиана (11) принимает вид

$$\tilde{\cal L}(g,\Phi)~=~ \frac{1}{2\kappa}\sqrt{-\hat{g}}\{R(\hat{g})-\Phi^{\frac{d}{2-d}}V(\Phi)\} + {\cal L}_{\rm m} , \tag{15}$$

где ур. (14) предполагается неявно.

Однако, к сожалению, преобразование Лежандра$V$для гравитации Эйнштейна (9) не существует, поэтому мы не будем далее в этом ответе рассматривать расширенную лагранжеву плотность (11).

$^2$Можно было бы допустить нединамическую часть кручения, но мы не будем останавливаться на этом здесь для простоты. Для получения дополнительной информации о кручении см., например, этот пост Phys.SE.

$^3$Обычно в формулировках, отличных от Палатини, мы интегрируем связь$\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}$и сохранить метрику$g_{\mu\nu}$. Эддингтон и Шредингер предложили обратное ! Давайте проанализируем эту возможность здесь. Определите для последующего удобства нотацию с двойным индексом$M=\mu\mu^{\prime}$и следующее сокращенное обозначение

$$\frac{f(R)}{2f^{\prime}(R)}~=:~\hat{f}(R) ~\equiv~ \hat{f}_0+\hat{f}_1R +\hat{f}_2(R).\tag{16}$$

Возьмем только вакуум

$$T_{\mu\nu}~=~0.\tag{17}$$

впредь. Тогда у нас есть

$$g^M~\stackrel{(4)+(16)+(17)}{\approx}~\hat{f}(R)R^M,\tag{18}$$

куда$R^M$является обратным тензором Риччи. Эквивалентно, мы имеем

$$\left(\delta^M_N - \hat{f}_1 R^M R_N\right) g^N~\stackrel{(16)+(18)}{\approx}~\left(\hat{f}_0+f_2(R) \right)R^M.\tag{19}$$

Таким образом, мы получаем уравнение с фиксированной точкой для обратной метрики

$$g^N~\stackrel{(19)}{\approx}~\left(\delta^N_M +\frac{\hat{f}_1}{1-d\hat{f}_1} R^N R_M\right)\left(\hat{f}_0+\hat{f}_2(R) \right)R^M$$ $$~=~ \frac{1}{1-d\hat{f}_1}\left(\hat{f}_0+\hat{f}_2\left(g^MR_M\right) \right)R^N.\tag{20}$$

Перейдем к гравитации Эйнштейна (9). затем

$$\hat{f}_0~=~-\Lambda;\qquad\hat{f}_1~=~\frac{1}{2};\qquad\hat{f}_2(R)~=~0.\tag{21}$$

Обратная метрика становится

$$g^N~\stackrel{(20)+(21)}{\approx}~\frac{2\Lambda}{d-2}R^N.\tag{22}$$

И, следовательно

$$R~\stackrel{(22)}{\approx}~\frac{2d}{d-2}\Lambda,\tag{23}$$

а также

$$g_{\mu\nu}~\stackrel{(2)+(22)}{\approx}~\frac{d-2}{2\Lambda}R_{\mu\nu}(\Gamma).\tag{24}$$

Таким образом, плотность EH-лагранжиана становится Борн-Инфельд- подобной:

$${\cal L}(\Gamma)~\stackrel{(1)+(17)+(23)+(24)}{\approx}~\frac{1}{\kappa}\left(\frac{d-2}{2\Lambda}\right)^{\frac{d}{2}-1}\sqrt{-\det(R_{\mu\nu}(\Gamma))}.\tag{25}$$

Обратите внимание, что действие Эддингтона-Шредингера (25) работает только для ненулевой космологической постоянной $\Lambda\neq 0$.