Применение структурных уравнений Картана, по-видимому, подразумевает, что действие Эйнштейна-Палатини равно нулю?

Действие Эйнштейна-Палатини можно записать как

С "=" М п л 2 ∫ ε а б с г ( е а ∧ е б ∧ р с г ) ,
где е а "=" е а мю дх мю является основой одноформенной и р а б "=" 1 2 р а б мю ν дх мю ∧ дх ν является двумерной формой римановой кривизны. Уравнения структуры Картана для соединения без кручения и совместимой с метрикой связи GR имеют вид
р а б "=" Д ю а б "=" г ю а б + ю а с ю б с , 0 "=" Д е а "=" г е а + ю а б е б ,
где ю а б "=" ю а б мю дх мю является (антисимметричной) формой спиновой связи.

Меня смущает тот факт, что если я применяю первое структурное уравнение, интегрирую по частям (пренебрегая граничными членами) и применяю второе структурное уравнение, кажется, что все действие исчезает.

С "=" М п л 2 ∫ ε а б с г ( е а ∧ е б ∧ Д ю с г ) "=" М п л 2 ∫ ε а б с г ( − Д ( е а ∧ е б ) ∧ ю с г ) "=" М п л 2 ∫ ε а б с г ( − Д е а ∧ е б ∧ ю с г + е а ∧ Д е б ∧ ю с г ) "=" М п л 2 ∫ ε а б с г ( 0 + 0 ) "=" 0

Это, очевидно, не кажется правильным, так что где-то есть ошибка в моем понимании? Неправильно ли использовать структурные уравнения и интегрировать по частям в действии таким образом?

Вы предположили, что соединение совместимо с тетрадой.
@SounakSinha да, но разве это не так в GR?
В тетраде действий Палатини совместимость не является оператором оболочки.
Хорошо, спасибо @SounakSinha. Если структурные уравнения неверны на оболочке, то как их следует понимать в этом контексте? Любые ссылки, которые вы можете порекомендовать, конечно, также приветствуются.
Попробуйте статью в Википедии .
@SounakSinha Очевидно, что это первое место, которое я посмотрел, и оно не отвечает на мой вопрос, но все равно спасибо.

Ответы (3)

Я нашел надежный источник, который отвечает на мой вопрос (Приложение 4.1 - М. Гасперини, Теория гравитационных взаимодействий; DOI 10.1007/978-88-470-2691-9), поэтому я представлю решение моего замешательства здесь для потомков. Проблема не в использовании структурных уравнений на оболочке (действительно, это чисто классическая теория), и в моем расчете нет ошибки. Проблема в том, что действие Палатини определяется с ненулевым кручением и соответствует ОТО только после того, как после вычисления уравнений движения будет принят предел исчезающего кручения.

Формализм Палатини требует, чтобы мы использовали структурное уравнение

Т а "=" Д е а "=" г е а + ю а б е б ,
где Т а "=" 1 2 Т а мю ν дх мю ∧ дх ν ≠ 0 является двуформой кручения. Затем можно интегрировать по частям, чтобы найти
С "=" М п л 2 ∫ ε а б с г ( е а ∧ е б ∧ Д ю с г ) "=" М п л 2 ∫ ε а б с г ( − Т а ∧ е б ∧ ю с г + е а ∧ Т б ∧ ю с г ) ≠ 0 ,
что является совершенно правильной версией действия Палатини.

Чтобы соприкоснуться с ОТО (здесь для простоты без источников материи), мы должны варьировать действие по отношению к двум независимым полям в нашей теории, е а и ю а б , что дает следующие EOM.

дельта е С "=" ε а б с г р а б ∧ е с "=" 0 , дельта ю С "=" ε а б с г Т а ∧ е б "=" 0
Это уравнения «Эйнштейна-Картана», и после обратного преобразования в обозначения тензорных компонент легко увидеть, что первое дает в точности уравнения Эйнштейна для ОТО, а второе дает EOM для кручения, что, конечно, тривиально после принятия ограничение Т а → 0 .

Короче говоря, формализм Палатини не воспроизводит ОТО, если мы просто установим Т а "=" 0 на уровне действия. Две теории совпадают только тогда, когда мы принимаем предел исчезающего кручения на уровне EOM.

Эта часть вашего неверна:

С ∼ ∫ ε а б с г ( е а ∧ е б ∧ Д ю с г ) "=" ∫ ε а б с г ( − Д е а ∧ е б ∧ ю с г + е а ∧ Д е б ∧ ю с г )
Правильный вывод:
С ∼ ∫ ε а б с г ( е а ∧ е б ∧ Д ю с г ) "=" ∫ ε а б с г ( − ( г е а + 1 2 ю а к ∧ е к ) ∧ е б ∧ ю с г + е а ∧ ( г е б + 1 2 ю б к ∧ е к ) ∧ ю с г )
Очевидно:
г е а + 1 2 ю а к ∧ е к ≠ Д е а "=" г е а + ю а к ∧ е к

Добавлено примечание после обсуждения с @JeffK (человеком, который изначально задал вопрос), поскольку @JeffK предпочел неверный расчет.

Скользящая ковариантная производная Д между ю и е немного сложно из-за уникального определения Д ю .

Можно прийти к действию Эйнштейна, применяя условие нулевого кручения

0 "=" Д е а "=" г е а + ю а б е б
к действию Эйнштейна-Палатини, выражая ю как функция е , эффективно устраняя явную зависимость действия Эйнштейна от ю .

Действие Эйнштейна, по-видимому, не равно нулю. Я надеюсь, что @JeffK сможет увидеть свет и избежать подобных ошибок в будущих исследованиях/исследованиях.

Спасибо за ответ @MadMax. Можете ли вы объяснить, откуда берется коэффициент 1/2?
@JeffK, короче говоря, вам нужно переписать ю 2 "=" 1 2 ю 2 + 1 2 ю 2 перед переездом ю вокруг, чтобы соответствовать два г е . С другой стороны, когда вы делаете вариацию на ю чтобы получить уравнение движения, где Д е естественно появляется, у вас нет 1 2 вопрос, так как дельта ю 2 "=" ю дельта ю + дельта ю ю .
@JeffK, твой ответ тоже неверен ( С "=" 0 в пределе Т → 0 ), понятие действия, равного нулю на оболочке (с использованием уравнения движения), применимо только к определенным действиям. Например, действие Дирака равно нулю на оболочке, так как все члены в действии Дирака линейны по ψ (или ψ ¯ ). Но действие Эйнштейна-Палатини не равно нулю на оболочке, так как р содержит оба ю и ю 2 условия.
Что касается вашего первого комментария, здесь не происходит «перемещения» ω. Между первыми двумя строками моего первоначального вопроса есть интегрирование по частям, где я переместил ковариантную производную из ω в е ∧ е 2 (и опустил граничный термин). Для вашего второго комментария в этом весь смысл! Если вы примете нулевой предел кручения перед вычислением EOM, вы получите нулевое действие (как и в любой теории, если вы интегрируете все поля). В действии Palatini нужно сохранить кручение вообще, а затем, если хотите, убрать кручение в конце, чтобы найти GR.
«Я переместил ковариантную производную», неправильно, вы не можете переместить ковариантную производную из Д ю к Д е , как я объяснил ранее. Интеграция по частям работает только для г , не для Д . Вы должны двигаться ю вокруг правильно.
Это неверно — интегрирование по частям всегда нужно производить с ковариантной производной. Это видно, например, из того, что тензорная плотность ε а б с г ездит только с Д то есть Д ε а б с г "=" 0 (см. раздел 2 приложения, на которое я ссылаюсь). Вот еще один источник, где интегрирование по частям используется так же, как это делаю я 2009.11739v1 (между уравнениями 3.6 и 3.8).
Трансфер из Д е х к е Д х (между уравнениями 3.6 и 3.8 в статье 2009.11739v1) работает, только если Д х определяется как Д х а б "=" г х а б + 2 ю а с ∧ х б с (см. уравнение A.39 в М. Гасперини, Теория гравитационных взаимодействий). Обратите внимание, что есть 2 фактор, отличный от Д ю "=" г ю + ю 2 .
Д х не определяется с коэффициентом 2 в этой статье и, конечно же, не определяется по-разному для разных форм одного и того же символа индекса. Ковариантная производная по спиновой (лоренцевой) связи любой формы α а б всегда Д α а б "=" г α а б + ю а с α б с . Если вы хотите выбрать соглашение с 1/2, это нормально, но вы должны быть последовательны. Пожалуйста, не стесняйтесь не соглашаться, но в этом случае я бы любезно попросил источник (поскольку A.39 является производным от метрики, а не одной формой) и предложил бы перейти к чату для дальнейшего обсуждения.
См. уравнение A.38 (A.39 было опечаткой) в M. Gasperini, Theory of Gravitational Interactions. Я остановлюсь на этом, это становится утомительным, удачи вам в освежении вашего дифференциального исчисления.

Вся эта дискуссия крутится вокруг распространенного заблуждения из-за того, что некоторые авторы (по неизвестным мне причинам) любят сокращать г ю а б + ю а с ∧ ю с б как Д ю а б . Пока человек понимает, что это всего лишь обозначения, все в порядке. Но затем люди читают это и предполагают, что это действительно внешняя ковариантная производная. Ясно, что внешние ковариантные производные НЕ действуют на 1-формы связности, а только на формы, компоненты которых являются тензорами некоторого ранга, точно так же, как обычные ковариантные производные НЕ действуют на символы связности, такие как символы Кристоффеля. Что конечно правильно дельта р а б "=" Д дельта ю а б поскольку разность 1-форм связи действительно переходит в Присоединенное. Кроме того, в формализме дифференциальных форм интегрирование по частям всегда должно производиться с внешней производной г а не ковариантный, как диктует обобщенная теорема Стокса.

Применение структурных уравнений Картана, по-видимому, подразумевает, что действие Эйнштейна-Палатини равно нулю?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v