Какова связь между группой Лоренца и алгеброй CL(1,3)CL(1,3)CL(1,3)?

Я начну с контекста трехмерного пространства, а затем расширим контекст до четырехмерного пространства-времени.

Наблюдаемая должна быть инвариантной относительно$2\pi$вращение. Модель обычно строится в терминах полевых операторов, а наблюдаемые выражаются в терминах полевых операторов, но сами полевые операторы не обязательно должны быть инвариантными относительно полевых операторов.$2\pi$вращение. Это важно из-за теоремы о спиновой статистике , которая говорит, что в релятивистской КТП фермионное поле (соответствующая частица которого подчиняется принципу запрета Паули) должно менять знак под действием$2\pi$вращение.

Итак, если мы хотим использовать принцип запрета Паули в релятивистской КТП, нам нужен способ построения полей, которые меняют знак под действием$2\pi$вращение. Представления группы вращения$O(3)$не делай этого. Нам нужно что-то еще. Алгебра Клиффорда дает нам хороший способ построить что-то еще.

Все еще работая в контексте трехмерного пространства, предположим, что у нас есть три матрицы$\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3$которые удовлетворяют

$$\gamma_j\gamma_k+\gamma_k\gamma_j=2\delta_{jk}.$$ Мы можем представить обычный вектор как$\mathbf{v}=\sum_k v^k\gamma_k$. Знакомые манипуляции с векторами могут быть выражены с помощью этого представления. В следующих уравнениях$\mathbf{v}\mathbf{u}$означает матричное произведение матричных представлений$\mathbf{v}$и$\mathbf{u}$. (В качестве абстрактного произведения, помимо любого матричного представления, это будет называться произведением Клиффорда .) Скалярное произведение двух векторов$\mathbf{v}$и$\mathbf{u}$является $$\frac{\mathbf{v}\mathbf{u}+\mathbf{u}\mathbf{v}}{2} =(\mathbf{v}\cdot\mathbf{u})I,$$ где$I$является единичной матрицей, а более естественной заменой «перекрестного произведения» является $$\mathbf{v}\wedge\mathbf{u}\equiv \frac{\mathbf{v}\mathbf{u}-\mathbf{u}\mathbf{v}}{2},$$ который представляет собой линейную комбинацию базисных бивекторов$\gamma_j\gamma_k$. (Это называется произведением клина , и оно производит бивектор — как и должно быть — а не вектор.) Поворот на угол$\theta$в$1$-$2$плоскость (например) задается $$\mathbf{v}\mapsto \exp\left(\frac{\theta}{2}\gamma_1\gamma_2\right) \mathbf{v} \exp\left(-\frac{\theta}{2}\gamma_1\gamma_2\right).$$ Это обычное вращение вектора$\mathbf{v}$сквозной угол$\theta$(нет$\theta/2$) в$1$-$2$самолет (он же "о$3$оси"). Спинор представляет собой одностолбцовую матрицу$\psi$который преобразуется при вращении в соответствии с $$\psi\mapsto \exp\left(\frac{\theta}{2}\gamma_1\gamma_2\right)\psi.$$ Чтобы мотивировать это, обратите внимание, что продукт$\mathbf{v}\,\psi$снова преобразуется как спинор: $$\mathbf{v}\,\psi\mapsto \exp\left(\frac{\theta}{2}\gamma_1\gamma_2\right) \mathbf{v} \exp\left(-\frac{\theta}{2}\gamma_1\gamma_2\right) \exp\left(\frac{\theta}{2}\gamma_1\gamma_2\right)\psi = \exp\left(\frac{\theta}{2}\gamma_1\gamma_2\right)\mathbf{v}\,\psi.$$ Более того, если мы выберем матричное представление$\gamma$-матрицы так, что$\gamma_k^\dagger=\gamma_k$, то количество$\psi^\dagger\mathbf{v}\psi$инвариантен относительно всех вращений. И если$\theta=2\pi$, то мы можем использовать$(\gamma_1\gamma_2)^2=-1$доказать, что преобразование сводится к$\psi\mapsto-\psi$, чего мы и хотим. Это значит, что$\psi$само по себе не может быть наблюдаемым, но чем-то, включающим произведение двух$\psi$s все еще может быть наблюдаемой, потому что знаки минус отменяются.

Наименьшие матрицы, удовлетворяющие первому уравнению, равны$2\times 2$, поэтому мы можем представить$\psi$как матрица-столбец с двумя (сложными) компонентами. Например, они соответствуют компонентам «спин вверх» и «спин вниз» электрона. Предыдущие уравнения показывают, как эти два компонента смешиваются друг с другом при вращении.

Подводя итог, говоря о физическом значении$\gamma$-матрицы в трехмерном пространстве: мы можем использовать их для описания обычных векторов, включая обычные повороты, и они также обеспечивают хороший способ описания вещей, которые меняют знак при$2\pi$вращения, как и положено фермионам. Таким образом, мы получаем все, что нам нужно, в одном пакете.

Теперь перейдем к четырехмерному пространству-времени. У нас практически та же история, но с ротационной группой$O(3)$заменена группой Лоренца. Для согласованности со связью спин-статистики нам нужен способ построения представлений, которые меняют знак при$2\pi$вращение. Представления самой группы Лоренца этого не делают, но мы снова можем использовать алгебру Клиффорда. Между прочим, все это прекрасно обобщается на произвольное число пространственно-временных измерений, но здесь я покажу только четырехмерный случай.

Предположим, у нас есть 4 матрицы$\gamma_\mu$которые удовлетворяют

$$\gamma_\mu\gamma_\nu+\gamma_\nu\gamma_\mu=2\eta_{\mu\nu},$$ где$\eta_{\mu\nu}$являются компонентами метрики Минковского. Мы можем представить обычный четырехмерный вектор как$\mathbf{v}=\sum_\mu v^\mu\gamma_\mu$. Предыдущие комментарии о скалярных произведениях и клин-произведении применимы и здесь. («Перекрестное произведение», которое претендует на построение вектора из двух входных векторов, не обобщается на четырехмерное пространство-время, в отличие от произведения клина.) Преобразование Лоренца (увеличение или вращение) в$\mu$-$\nu$самолет дается $$\mathbf{v}\mapsto \exp\left(\frac{\theta}{2}\gamma_\mu\gamma_\nu\right) \mathbf{v} \exp\left(-\frac{\theta}{2}\gamma_\mu\gamma_\nu\right).$$ Влияние того же преобразования Лоренца на спинор Дирака$\psi$является $$\psi \mapsto \exp\left(\frac{\theta}{2}\gamma_\mu\gamma_\nu\right)\psi.$$ Опять же, это меняет знак под$2\pi$вращения, поэтому мы можем использовать это для фермионного поля. Он не может быть наблюдаемым сам по себе, но мы можем использовать его для построения наблюдаемых, потому что любое произведение четного числа этих вещей инвариантно относительно$2\pi$вращение. Наименьшие матрицы, удовлетворяющие определяющему соотношению, имеют размер$4\times 4$. (В$2n$-мерное пространство-время, они имеют размер$2^n\times 2^n$, и они имеют такой же размер в$2n+1$-мерное пространство-время.)

Подводя итог, говоря о физическом значении$\gamma$-матрицы в четырехмерном пространстве-времени: мы можем использовать их для описания лоренцевских бустов таких вещей, как обычные векторы, и они также обеспечивают хороший способ описания вещей, которые меняют знак при$2\pi$вращения, как и положено фермионам. Таким образом, мы получаем все, что нам нужно, все в одном пакете — ничего не говоря о квадратных корнях уравнений Клейна-Гордона.

---

Между прочим, говоря, что фермионное поле должно менять знак при$2\pi$вращение может показаться проблематичным, потому что оно говорит о том, что обычные частицы со спином 1/2, такие как электроны, протоны и нейтроны, также должны обладать этим свойством. Они есть , и это не проблема. Это не проблема, скажем, в одноэлектронном состоянии, потому что изменение знака в этом случае — это просто изменение общего коэффициента вектора состояния, которое не имеет наблюдаемых последствий. Это вызовет проблему в таком состоянии, как$|\text{even}\rangle+|\text{odd}\rangle$это суперпозиция состояний с четным и нечетным числом фермионов, и такие суперпозиции не разрешены в КТП . Состояния с четным и нечетным числом фермионов относятся к разным секторам суперотбора . Что мы можем сделать, так это рассмотреть суперпозицию двух разных местоположений одного фермиона, а затем изменение знака под действием$2\pi$вращение имеет косвенные наблюдаемые последствия. Это было продемонстрировано в экспериментах по интерференции нейтронов, в основном двухщелевых экспериментах с макроскопическим расстоянием между двумя путями в интерферометре. (Дифракция в кристалле использовалась вместо «щелей».) Магниты использовались, чтобы вызвать прецессию любого нейтрона, проходящего по одному из путей, и влияние на полученную двухщелевую интерференционную картину отображает эффект знака -изменить под$2\pi$вращения. Об этом говорится в «Теоретическом и концептуальном анализе знаменитого$4\pi$Эксперименты по нейтронной интерферометрии с симметрией", https://arxiv.org/abs/1601.07053 .

Построение можно обобщить на$n$-размерный$\mathbb{F}$-векторное пространство$V$с$\mathbb{F}$-билинейная симметричная невырожденная форма$g: V\times V\to \mathbb{F}$. Позволять$(e_k)_{k=1, \ldots, n}$быть основой для$V$и$g_{jk}:=g(e_j,e_k)$.

1. (Возможно, неопределенная ) ортогональная группа

   $$O(V)~:=~\{M\in GL(V) ~|~\forall v,w\in V:~~ g(M(v), M(w))~=~g(v,w) \}$$ $$~\stackrel{\text{polarization}}{=}~\{M\in GL(V) ~|~\forall v\in V:~~ g(M(v), M(v))~=~g(v,v) \} \tag{1}$$ с соответствующей алгеброй Ли $$so(V)~:=~\{m\in {\rm End}(V) ~|~\forall v,w\in V:~~ g(m(v),w)+g(v,m(w))~=~0 \}$$ $$~\stackrel{\text{polarization}}{=}\{m\in {\rm End}(V) ~|~\forall v\in V:~~ g(m(v),v)+g(v,m(v))~=~0 \}~. \tag{2}$$ Существует изоморфизм векторного пространства $$\bigwedge{}^2 V~\ni~\omega ~=~\frac{1}{2}\sum_{j,k=1}^n\omega^{jk}e_j\wedge e_k ~~\mapsto~~ -i((\cdot)^{\flat})\omega ~=~\sum_{j,k,\ell=1}^n e_j \omega^{jk}{}g_{k\ell} e^{\ast\ell} \in~so(V), \tag{3}$$ где$i:V^{\ast}\times \bigwedge V \to \bigwedge V$обозначает интерьерный продукт и$\flat:V\to V^{\ast}$музыкальный изоморфизм $v\mapsto v^{\flat}:=g(v,\cdot)$.

2. Алгебра Клиффорда определяется как

   $$Cl(V)~:=~T(V)/I(V), \qquad T(V)~:=~\bigoplus_{n=0}^{\infty} T^n(V),$$ $$T^n(V)~:=~ \underbrace{V\otimes \ldots\otimes V}_{n\text{ factors}},\qquad T^0(V)~:=~\mathbb{F}, \tag{4}$$ где$I(V)$является двусторонним идеалом в$T(V)$Сгенерированно с помощью $$\{v\otimes v - g(v,v){\bf 1} \in T(V)~|~ v\in V\}.\tag{5}$$ Линейная карта$\Phi: V\to {\rm End}(\bigwedge V)$дается суммой внешнего и внутреннего умножения$v\mapsto e(v)+i(v^{\flat})$можно продолжить до гомоморфизма алгебр $$\Phi: T(V)~\to~ {\rm End}(\bigwedge V)\tag{6}$$ так что $$\Phi(v\otimes v)~=~ \Phi(v)\circ \Phi(v)~=~\ldots~=~g(v,v)\Phi({\bf 1}) \tag{7}$$ с ядром${\rm Ker}(\Phi)=I(V)$. Другими словами, существует гомоморфизм алгебр $$\widetilde{\Phi}: Cl(V)~\to~ {\rm End}(\bigwedge V)\tag{8}$$ Затем $$Cl(V)~\ni~ c~~\mapsto~~ \widetilde{\Phi}(c)(1)~\in~ \bigwedge V\tag{9}$$ является изоморфизмом векторного пространства. В частности $$Cl(V)^{\rm even}~\ni~ c~=~\frac{1}{4}\sum_{j,k=1}^n\omega^{jk}(e_j\otimes e_k-e_k\otimes e_j)$$ $$~~\mapsto~~ \widetilde{\Phi}(c)(1) ~=~\frac{1}{2}\sum_{j,k=1}^n\omega^{jk}e_j\wedge e_k ~=~\bigwedge{}^2 V.\tag{10}$$

3. Карты (3) и (10) можно комбинировать, чтобы получить вложение$so(V) \hookrightarrow Cl(V)^{\rm even}$. На простом языке: Генераторы алгебры Ли (2) можно отождествить с антикоммутаторами гамма-матриц (с точностью до нормализации). См. также ссылки. 1 и 2.

Использованная литература:

1. С. Штернберг, Алгебры Ли, 2004; Глава 9.

2. У. Фултон и Дж. Харрис, Теория представлений, 1991; Лекция 20.