Почему в некоторых уравнениях силы есть множитель 4π4π4\pi?

Например, если вы имеете в виду$k_e=\frac1{4\pi\epsilon_0}$, это происходит из естественного понимания закона Кулона «закона Гаусса», где электрическое поле распределяется по поверхности сферы площадью$4\pi r^2$.

$$F= \frac1{\epsilon_0}\frac1{4\pi r^2}q_1q_2$$

Это также является объяснением$1/r^2$термин (и в других классических областях), и есть также попытки распространить такого рода рассуждения на гравитационные поля.

Если вы хотите избежать факторов$\pi$в более фундаментальных уравнениях, таких как$\nabla . E = \rho / \epsilon_0$, вы должны принять их там, где они принадлежат, например, в:$E = \frac{1}{\epsilon_0} \frac{Q}{4 \pi r^2}$.

Как отмечают другие, Ньютону не удалось ввести множитель$4 \pi$в свое гравитационное уравнение (он обусловил$g = G \frac{M}{r^2}$, вместо$g = G \frac{M}{4 \pi r^2}$) и в результате мы должны жить с факторами$\pi$в более фундаментальном законе Гаусса для гравитации и, что более важно, также в теории гравитации Эйнштейна.

Физическая причина появления$4\pi$ где- то в теории сферическая симметрия проблемы и обсуждается больше в других ответах. Здесь я хочу процитировать интересное рассуждение из «Лекций по теоретической физике» Арнольда Зоммерфельда, том III, где есть раздел, посвященный этому вопросу.

Если вы удалите$4\pi$из закона силы вы получите его в более фундаментальном уравнении Максвелла:

$$\nabla.\mathbf{D}=4\pi\rho$$ а также искажает плотность энергии на: $$W=\frac{1}{8\pi}\mathbf{E}.\mathbf{D}$$

Но Хевисайд, как сказано в упомянутой книге, всю жизнь боровшийся за рациональные единицы$(4\pi$присутствует в силовом законе$)$, есть еще один интересный аргумент о преимуществе этой системы перед другими. Он указывает на емкость конденсатора:

Плоский конденсатор (площадью$A$, разделение пластин$d$) в этих рациональных единицах$(4\pi$присутствует в силовом законе$)$и в других единицах$($с$4\pi$присутствует в уравнениях Максвелла$)$имеет мощность

$$C=\frac{\epsilon A}{d}\tag{rational}$$ $$C=\frac{\epsilon A}{4\pi d}\tag{others}$$ а для сферического конденсатора (радиус $R$, внешняя сфера, воображаемая на бесконечности): $$C=4\pi \epsilon R\tag{rational}$$ $$C=\epsilon R\tag{others}$$ Мы видим, что в рациональных единицах множитель $4\pi$появляется для сферы. Для других единиц он отсутствует для сферы и появляется для плоского конденсатора.

Затем Хевисайд делает следующее поразительное сравнение: переходя от измерения расстояния к измерению площади, можно определить как единицу площади площадь круга радиуса$1$. Это было бы логически возможно. Однако это привело бы к странному результату, что квадрат со стороной$1$будет иметь площадь$\dfrac{1}{\pi}$. Тогда бы все сказали, что$\pi$был не в том месте. То же самое мы сказали о факторе$4\pi$в приведенных выше формулах для емкостей.

Любое дифференциальное уравнение вида$\nabla \cdot A = \alpha$а также$\nabla \wedge A = 0$в$n$-dimensions имеет функцию Грина (то есть решение для точечного источника, для$\alpha = \delta$, дельта-функция Дирака) поле$G$формы

$$G(r) = \frac{1}{S_{n-1}} \frac{\hat r}{|r|^{n-1}}$$

куда$S_{n-1}$это площадь поверхности единицы$n$-мяч, который мы знаем, чтобы быть$4\pi$в 3д. Фактор$4\pi$то, что появляется во многих таких силовых уравнениях, по своей сути является геометрическим, и, как было сказано, было бы затруднительно свести его к константе, особенно если работать вне 3d (см., например, электрическое поле линейного заряда, которое равно двумерная проблема и, таким образом, имеет$2\pi$появляются в нем, как окружность единичного круга).

Основная причина в том, что это упрощает расчеты, а результаты выглядят лучше. Например, предположим, что поле (или сила) задано выражением

$$E = \frac{1}{4\pi} f(\mathbf{r})$$ для некоторой функции $f(\mathbf{r})$.

Если система обрабатывает вращательную симметрию, после суммирования по плотности вы получите коэффициент$2\pi$. Если система обрабатывает сферическую симметрию, вы получите коэффициент$4\pi$. В обоих случаях полученное уравнение не содержит$\pi$фактор. Это особенно полезно в EM, поскольку мы обычно рассматриваем процесс распределения плотности как некоторую симметрию.

Итак, почему нет$\pi$в ньютоновской гравитации$F=GMm/r^2$?

Потому что такой необходимости нет. Вы не можете превратить планету, похожую на макроскопический объект, в бесконечно длинный стержень, форму диска или какую-нибудь забавную форму. Гравитация оказывает существенное влияние только тогда, когда она накапливает большую массу, в то же время она становится сферой под действием собственной гравитации. Так что, по сути, это уже хорошая точка, как частица, когда мы смотрим на нее в некотором радиусе. Дополнительный$\pi$не облегчит расчет.

Некоторые люди (включая меня) считают уравнения поля, такие как закон Гаусса, более «фундаментальными», чем уравнения силы. Наиболее очевидная причина этого заключается в том, что закон силы Кулона работает только тогда, когда рассматриваемые заряды остаются статичными — его необходимо модифицировать, как только им позволено двигаться.

Как заявили другие,$4 \pi$имеет отношение к площади поверхности шара. Закон Гаусса (я буду использовать интегральную форму, чтобы связь с площадью поверхности была более очевидной) для электрического поля говорит нам:

$$\int \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{A}= \frac{q}{\epsilon_0}$$

На словах это означает, что если заключить какие-то заряды в воображаемую поверхность, то сумма электрического поля, выходящего из этой поверхности, умноженная на площадь поверхности, равна суммарному заключенному в ней заряду, умноженному на некоторый постоянный множитель . Если взять точечный заряд и окружить его сферической поверхностью радиуса$r$, то сводится к:

$$4 \pi r^2 E= \frac{q}{\epsilon_0}$$

Сделайте некоторую перестановку, и достаточно легко увидеть, как это связано с законом Кулона.

Существует также форма закона Гаусса для (ньютоновской) гравитации:

$$\int \mathbf{g} \cdot \mathrm{d} \mathbf{A}= 4 \pi GM$$

Это уравнение поля фактически содержит множитель$4 \pi$уже, поэтому, когда вы заключаете массу в сферическую поверхность, фактор сокращается с обеих сторон. Это просто потому, что, когда Ньютон записал свой закон силы для гравитации, он не знал о таких вещах, как закон Гаусса, и поэтому забыл включить$4 \pi$в уравнении силы. И с тех пор условность осталась неизменной, так что у нас осталась слегка запутанная мешанина из некоторых уравнений поля, которым нужны множители$\pi$а некоторые нет. В общем, если вы видите фактор$\pi$в уравнении поля вы, вероятно, смотрите на что-то, связанное с гравитацией.

Это просто результат применения теоремы Гаусса в симметрии, в данном случае площадь поверхности сферы с зарядом, размещенным в ее центре.

Что равно 4 Пи R ^ 2