Почему постоянная Кулона имеет единицы?

Когда первоначально изучалась электростатическая сила, сила, масса, расстояние и время были достаточно хорошо изучены, но электростатическая сила и электрический заряд были новыми и экзотическими. В системе cgs заряд определялся по отношению к результирующей электростатической силе (она называется Франклином (Fr), «электростатической единицей» (esu или) иногда statCoulomb (statC)).

В этой системе мы выражаем силу, действующую на одну заряженную частицу, через другую как$F_E=\frac{q_1 q_2}{r^2}$где единицей заряда является эсу, единицей силы является дина, а единицей расстояния является сантиметр. В системе МКС (теперь называемой СИ) мы бы написали$F_E = k_e\frac{q_1 q_2}{r^2}$где единицей заряда является кулон, единицей силы является ньютон, а единицей расстояния метр. Казалось бы, если вещи эквивалентны, то$k_e$действительно просто коэффициент преобразования, но вещи определенно не эквивалентны.

Немного истории, вероятно, будет полезно в этом месте. В 1873 году, когда система СГС была впервые стандартизирована, она, наконец, провела четкое различие между массой и силой . До этого было принято выражать и то, и другое в одной и той же единице, например в фунтах. Так что, если подумать, люди до сих пор говорят что-то вроде «Я вешу 72 кг», а не «Я вешу 705 Н здесь, на поверхности Земли», и они также говорят$1 \mathrm { kg} = 2.2\mathrm{ lb}$путаница с массой и весом ( имперская единица массы cgs на самом деле является слизнем).

Это важно, потому что есть прямая аналогия с вопросом о единицах заряда и с вашим вопросом о единицах$k_e$. Франклин определяется как «такой заряд, который воздействует на равный заряд на расстоянии одного сантиметра в вакууме с силой в одну дину». Значение$k_e$принимается равным 1 и является безразмерным в системе СГС.

Таким образом, в cgs единица заряда уже неявно имеет это значение$k_e$встроенный. Однако в единицах СИ они начали с ампер и получили кулоны от этого и времени ($C=It$). Полученные единицы$k_e$являются результатом этого выбора.

Таким образом, хотя физическое явление остается тем же, выбор единиц измерения дает либо$k_e$размерность или нет.

См. этот документ для более подробной информации о том, как это работает на практике.

Системы единиц в некотором смысле гибки и необязательны.

Отношение

$$\text{Electrostatic force twixt two point-like charges} \propto \frac{(\text{one charge})\times (\text{the other charge})}{(\text{distance between them})^2} \tag{1}$$

является экспериментальным фактом.

В системе СИ у нас есть такие единицы измерения Силы, расстояния и заряда, что (1) размерно не согласуется с безразмерной константой пропорциональности. Так,$k$должны иметь размеры$\frac{\mathrm{N} \cdot \mathrm{m}^2}{\mathrm{C}^2}$а также иметь числовое значение.

Но мы могли бы поступить иначе. Рассмотрим «Статкулон» . В гауссовских единицах единица заряда определяется таким образом, что закон Кулона имеет безразмерную единичную константу пропорциональности.

$$F = \frac{q_1 \, q_2}{r^2} \,.$$ Это совершенно правильный способ заниматься физикой. По сути, мы сложили $\sqrt{k}$в числовое значение каждого из зарядов:

$$(\text{charge})(in\; \text{Statcoulombs}) \sim \sqrt{k} \, (\text{same charge})(in\; \text{Coulombs}) \,,$$

или

$$\sqrt{k} \,\text{Statcoulombs} \sim 1 \,\text{Coulombs} \,.$$

Это делает статкулон довольно забавной единицей, выраженной в терминах СИ, но тогда кулон — довольно странная единица, выраженная в гуассовых терминах. Каждую систему следует понимать в ее собственном контексте.

Было сказано очень много слов о том, что один набор юнитов лучше другого или наоборот.

В моем бизнесе (физика элементарных частиц) принято работать в единицах, где$c = \hbar = 1 \,(\text{dimensionless})\;.$Это дает энергию, массу и импульс в одних и тех же единицах измерения (на самом деле обратное расстояние) и теряет многие из проверок, которые помогают молодым физикам отслеживать разницу между этими величинами, но сокращает записи и упрощает форму многих уравнений. (Кстати, космологи часто добавляют$G = 1\,(\text{dimensionless})$к смеси.

Мораль этой истории такова: «Не придавайте слишком большого значения единицам «констант», потому что они зависят от выбранной вами системы единиц».

Сила — это векторная величина, определяемая математически как скорость изменения импульса, то есть
$\vec F = \dfrac{d\vec p}{dt} \tag{1}$где$\vec p= m\vec v$в классической механике.
Единицей силы в Si является «ньютон». Один «ньютон» — это сила, необходимая для ускорения массы в один килограмм со скоростью один метр в секунду в квадрате. Вы можете составить свой собственный набор единиц измерения, сказав: я определяю один ньютон как силу, необходимую для ускорения 2 кг массы на 1 м/с ^ 2, тогда вам придется изменить уравнение 1 как$\vec F=\dfrac{1}{2}m \vec a$В общем случае второй закон Ньютона можно сформулировать как$\vec F=k \ m\vec a$где$k$зависит от единиц измерения. Вы также можете сказать$\vec F \propto d\vec p/dt$и$k$выступает как константа пропорциональности. Здесь следует отметить, что '$k$' - безразмерная постоянная.
Пусть нашей системой единиц будет СИ для простоты, и уравнение 1 справедливо. Измерим силу пружинной шкалой
. Пружина подчиняется закону Гука, который гласит, что величина приложенной силы прямо пропорциональна смещению пружины, т. е.$F=k X$где$x$это смещение и$k$– константа пропорциональности. На этот раз$k$не является безразмерным, почему это так? это так, потому что сила измеряется не в метрах, а в ньютонах. Предположим, что пружина изготовлена ​​таким образом, что смещение на один метр соответствует силе в один ньютон, тогда$k$будет$1$величина. Было бы уместно определить, чтобы определить один ньютон = один метр , чтобы сделать$k$безразмерный? НЕТ! выполнение этого сделает все другие уравнения, включающие '$F$' неправильный размер, например$F=kma$здесь k должно быть размерной константой.
Точно так же, если вы определяете «один ньютон =$1 \text{Newton} = \frac{1}{1/1 \text{meter}^2 \cdot 1 \text{Coloumb}^2}$затем$F=ma$надо будет поменять на$F=\dfrac{s^2}{\text{Kg m}} \times {1/\text{meter}^2 \cdot \text{coloumb}^2} \times \text{mass} \times \text{acceleration}$

---

По закону Колумба постоянная$k_e$имеет единицы и величину.
$1.$У него есть единицы, чтобы сделать уравнение размерно правильным.
$2.$это не$1$по величине, потому что величина$\dfrac{q_1q_2}{r^2}$когда$q_1$,$q_2$и$r$все едины сила в ньютонах оказывается$9\times 10^9$по величине так$k$дать это значение для правильной калибровки.$k$можно рассматривать как константу пропорциональности, масштабный коэффициент, размерную константу или все вместе.$k$величина равна 9*10^9 только потому, что мы определили один ньютон как 1 кг м/с^2. Если вы говорите, что 9 * 10 ^ 9 ньютонов = один dgp , то в системе dgp$k$достигнет одной величины.

Да, ваше определение неверно, оно не работает только с точки зрения измерений.

Итак, если K не является коэффициентом преобразования, поскольку приведенное выше определение Ньютона недействительно, и K не является просто масштабным коэффициентом, поскольку он имеет единицы, то что это такое?

K — это просто константа, например, посмотрите на формулу сопротивления. Мы знаем, что:
1. Сопротивление прямо пропорционально длине проводника.
2. Сопротивление обратно пропорционально площади поперечного сечения проводника.
Таким образом, мы заключаем, что:$R \propto l/A$. Для снятия знака пропорциональности используем константу, уравновешивающую уравнение. Уравнение теперь становится$R = \rho l/A$. Здесь$\rho$не является ни коэффициентом масштабирования, ни коэффициентом преобразования, это просто константа. точно так же имеем:$F \propto Q^2/R^2$Это решается с помощью постоянной кулона, которая теперь представлена ​​​​в виде$\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}$

Если это просто константа пропорциональности для регулировки величины, то почему у нее есть единицы измерения? Разве она не должна быть на единицу менее постоянной?

Никто не говорил, что константа пропорциональности должна быть безразмерной и/или безразмерной, у нас есть константы пропорциональности всех типов. Например:
1.$\rho$называемое удельное сопротивление имеет как размеры, так и единицы.
2.$\mu$так называемый коэффициент трения не имеет ни единиц, ни размеров.
3.$\theta$называется углом, это не константа пропорциональности, но вы можете заметить, что у него нет размеров, но есть единицы измерения.

Таким образом, k - это не просто коэффициент масштабирования (поскольку он имеет единицы измерения) и не коэффициент преобразования, поскольку Ньютон не может быть выражен как другие единицы.

Ньютон может быть выражен в других единицах как с масштабированием, так и без него, например:
1.$1 N = 1 kg m s^{-2}$
2.$1 N = 10^5 dynes$

Итак, если его единица просто существует, так что вещи «хорошо» сокращаются, не делает ли это размерный анализ бесполезным, поскольку вы можете добавлять случайные константы и единицы, чтобы нейтрализовать все, что вы хотите?

Это, безусловно, не делает размерный анализ бесполезным. Постоянные, такие как постоянная Кулона , удельное сопротивление добавляются для снятия знака пропорциональности и для вывода уравнений из эмпирических формул, их нельзя просто причудливо добавлять куда угодно и отменять единицы.
Вы выполняете размерный анализ существующего уравнения (не эмпирической формулы, утверждающей пропорциональность, а не эквивалентность).

Мой вопрос не о значении k. Речь идет о его подразделениях.

Единиц может быть несколько в зависимости от того, какую систему вы используете, но в СИ мы используем$N m^2 C^{-2}$, это габаритно$[ML^3A^{-2}T^{-4}]$.

Кроме того, из истории закона Кулона в Википедии говорится, что это действительно был сначала эмпирический закон, а затем преобразованный в уравнение с использованием константы пропорциональности.$k$

Наконец, в 1785 году французский физик Шарль-Огюстен де Кулон опубликовал свои первые три доклада об электричестве и магнетизме, в которых сформулировал свой закон. Эта публикация имела важное значение для развития теории электромагнетизма.[12] Он использовал крутильные весы для изучения сил отталкивания и притяжения заряженных частиц и определил, что величина электрической силы между двумя точечными зарядами прямо пропорциональна произведению зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

В дополнение к единицам длины, времени и массы, СИ определяет ампер, единицу силы тока. Он определяется через силу притяжения между параллельными проводами. Он также определяет Кулона как$1\; C = 1\; A\cdot s$

Это означает, что для трех из четырех величин ($F,q,r$) фигурирует в законе Кулона-Силы

$$F = K\frac{q_1q_2}{r^2}$$ СИ заранее зафиксировала свои единицы. Единица $K$должны быть скорректированы так, чтобы ньютоны отображались в правой части. Так, $K$несет единицу $\mathrm{Nm^2/C^2}$потому что в СИ уже определена единица заряда — кулон. Численное значение по существу фиксируется путем измерения силы притяжения между известными зарядами.

Сравните это со случаем системы единиц Гаусса (cgs). Никакое определение заряда не дается априори и$K = 1$выбирается . _ Отсюда следует, что единица заряда в СГС-ЭСУ (СГС - Electrostatic Units) определяется как

$$[Q] = \left([F][r]^2\right)^{1/2}=\frac{\sqrt{g\cdot \mathrm{cm^3}}}{s}$$

и это называется Франклин (Fr) или Стат-Кулон (statC).

Ну, я думаю, речь идет о неуловимых константах.

Экспериментальные законы представляют реальность, и эта реальность не зависит от систем единиц измерения; это также не зависит от изменений системы. Чтобы объяснить реальность, мы используем физические теории, основанные на фундаментальных уравнениях; часто они выражаются в виде пропорции, как в

$$[F]\propto[m][a]$$

Это отношение между величинами, а не между количествами. Если я хочу количественное отношение, я должен использовать систему единиц. Для этого необходимо ввести константу

$$F= C ma$$

ну можно попробовать сделать$C=1$, выбрав адекватную систему единиц. Эту константу часто называют «коэффициентом преобразования», потому что вы используете ее для изменения своей системы единиц, но ее правильное название — «постоянная сверхпотока». Однако, если вы попытаетесь исключить ВСЕ физические константы, выбрав определенную систему единиц, вы обнаружите, что можете т. Есть некоторые константы, которые вы не можете исключить из уравнений, независимо от того, что вы делаете. Это константы:

• вселенская гравитация,$G$
• постоянная Планка,$h$
• Скорость света в вакууме,$c$
• постоянная Больцмана,$k_B$
• число Авогадро,$N_A$
• И диэлектрическая проницаемость вакуума,$\epsilon _0$

Ваша постоянная Кулона зависит от этой последней константы и диэлектрической проницаемости материала, который вы используете (и других размерных факторов). Как видите, все это неуловимые константы. Эти константы не являются «коэффициентом преобразования», поскольку все находится в одной системе. Но они необходимы, чтобы уравнения были правильными по размерам.

Вы можете попытаться найти какую-нибудь книгу по анализу размерностей и основам теории физики: как строятся физические модели, важность однородных уравнений размерностей и т. д.

РЕДАКТИРОВАТЬ: я сказал, что «неразборчивые константы не могут быть устранены». Ну, если вы используете натуральные единицы, то эти константы исключаются, но вы найдете некоторые новые константы (планковская длина, планковская масса...), так что на самом деле в конце вы не можете исключить все константы из всех уравнений. , что я хотел сказать.

Ваше определение в упрощенном виде эквивалентно:

$$1 \text{Newton} = \frac{1}{1/1 meter^2 * 1 Coloumb^2} = \frac{c^2}{m^2}$$

Это неверно только потому, что имя модуля$Newton$уже занято, однако это было бы совершенно правильно:

$$1 \text{Your_unit_name} = \frac{c^2}{m^2}$$

В этом случае$\text{Your_unit_name}$будет тогда единицей силы в системе единиц, где$k=1$очень похоже на систему единиц Планка$ħ=G=c=k_e=k_B=1$

Тогда значение$k$коэффициент преобразования между$\text{Newtons}$и$\text{Your_unit_names}$и можно подумать о наличии единиц$\frac{\text{Newtons}}{\text{Your_unit_names}}$что, если ваша замена из определения$\text{Your_unit_names}$вы получаете знакомую форму$N*m^2/C^2$

Краткий ответ : Да, это можно рассматривать как коэффициент преобразования, но числовое значение будет зависеть от выбора используемых единиц измерения.

Зависит от единиц измерения, которые мы используем. Закон Кулона обычно задается формулой

$$F=k_e\frac{q_1q_2}{r^2}$$ где следует использовать такие единицы, которые уравнения выполняются с помощью размерного анализа.

Если мы, например, возьмем$q_1$и$q_2$находиться в кулонах и$r^2$быть в метрах тогда$k_e=8.987...\cdot10^9 \frac{Newton\cdot Meters^2}{Coulomb^2}$.

Если мы возьмем$q_1$и$q_2$быть в микрокулонах и$r^2$быть в сантиметрах тогда$k_e=8.987...10^{+1} \frac{Newton\cdot centimeters^2}{microCoulomb^2}$. (Заметить, что$10^9$стал$10^{+1}$.)

Если мы возьмем какие-то другие единицы, числовое значение и его размеры изменятся на что-то другое.

Можем ли мы действительно интерпретировать это как коэффициент преобразования?

Да мы можем. Сначала я возьму более простой пример. Самые известные уравнения Эйнштейна задаются формулой$E=m\cdot c^2$где$m$это масса,$E$это энергия и$c$это скорость света. Здесь$c^2$это коэффициент преобразования, говорящий нам, сколько энергии у нас есть, если кто-то дает нам$x$кг. Или если у нас есть$y$Джоуль мы можем преобразовать в массу.

Ваш вопрос из того же рода. Учитывая два заряда и расстояние между ними, закон Кулона говорит вам, как расположить заданные количества (умножить заряды и разделить на квадрат расстояния), а постоянная Кулона говорит вам, как преобразовать ответ, который вы получите из [умножить заряды и разделить на квадрат расстояния] к силе.

Итак, подсчитывается количество$\frac{q_1q_2}{r^2}$, затем$k_e$используется для преобразования этой величины в ньютоны.