Почему волчки не падают?

Это довольно старая тема, но я чувствовал, что могу найти то, что вы ищете.

В ответ на некоторые ответы вы пишете:

Поскольку угловое ускорение всегда тангенциальное, я ожидаю, что вершина будет двигаться по спирали наружу, пока не упадет на землю.

Абсолютно, это то, чего вы должны ожидать. И это происходит... на мгновение. Окончательное решение немного сложнее, чем просто равномерное вращение вокруг вертикальной оси.

Чтобы понять это, представьте себе, что вы берете юлу, которую только что поставили на время.$t = t_0$на земле. А в следующее мгновение происходит именно то, что вы интуитивно ожидаете - волчок начинает падать под действием гравитации и$\phi$(обозначения см. на рисунке ) начинает возрастать от$\phi \rightarrow \phi + \delta \phi$вовремя$t_1$. Следовательно, угловой момент$\mathbf{L}$из главных изменений.

Это похоже на то, что происходит на 2-м рисунке на странице гиперфизики, где$\delta \mathbf{L}$находится в направлении$\delta \theta$, только сейчас$\delta \mathbf{L}$в направлении$\delta \phi$и лежит в плоскости, содержащей продольную ось$L_A$вершины и центральной вертикальной оси$V_A$.

Увеличение$\phi$снижает центр масс волчка и, следовательно, его потенциальную энергию на величину$-\delta U$. При условии сохранения энергии это означает увеличение кинетической энергии.$\delta K$вершины. Поскольку вершина ограничена нулевым линейным импульсом, это$\delta K$полностью вносит вклад в энергию вращения волчка.

Имейте в виду, однако, что вершина теперь вращается вокруг двух разных осей. Одна составляющая представляет собой первоначальное вращательное движение вокруг собственных продольных осей, а другая — вращение, вызванное силой тяжести вокруг направления$N_A$ нормали к плоскости, содержащей$L_A$а также$V_A$. Следовательно$\delta K$должно быть соответствующим образом распределено между этими двумя движениями. Давайте посмотрим, как это происходит.

Момент инерции волчка ($I_A$) вокруг оси$L_A$явно меньше($I_V$) вокруг оси$N_A$. Это верно для всех вершин, кроме самой странной формы. Убедите себя, что это так. В цепях больший ток протекает по путям с меньшим сопротивлением. Точно так же в механике больше энергии передается компоненту с меньшей инерцией. Таким образом, большая часть$\delta K$пойдет на увеличение момента количества движения волчка вокруг его продольной оси$L_A$на некоторую сумму$\delta L'$

Теперь сохранение углового момента требует, чтобы этому увеличению соответствовал крутящий момент. Эффект этого индуцированного крутящего момента заключается в том, что падающая вершина начинает раскачиваться обратно вверх. Таким образом, вместо спирали кончик волчка очерчивает что-то вроде циклоиды, прецессируя вокруг центральной оси.

Однако диаграмма, по-видимому, указывает на то, что вершина должна прецессировать по кругу, а не по спирали.

Круговая траектория есть идеализация, достигаемая только в том пределе, когда$\omega_s / \omega_p \rightarrow \infty$, куда$\omega_s$– угловая скорость спина и$\omega_p$– угловая скорость прецессии. Любая вершина с реалистичными значениями$\omega_s$а также$\omega_p$будет иметь конечное «колебание».

Я бы не знал об этой довольно сложной динамике, если бы не один из томов лекций Фейнмана (кажется, Часть I), где этот вопрос рассматривается очень подробно!

Приведенное выше описание немного сумбурно, и, вероятно, в моих рассуждениях есть ошибки. Для полной кахуны поищите лекции Фейнмана!

                          Cheers,

Когда он вращается, его угловой момент достаточно высок. За счет сохранения углового момента волчок становится более устойчивым к небольшим крутящим моментам, таким как действие силы тяжести на волчок.

Угловой момент волчка равен$J = I \omega$куда$I$- тензор инерции и$\omega$— вектор Дарбу, величина которого пропорциональна скорости вращения.

Вы можете найти подробное обсуждение на этой странице Гиперфизики .

Дело в том, что принципы сохранения обычно не интуитивны. Например, зачем экономить энергию? Чтобы понять их, нужно иметь представление о вовлеченной динамике.

Во всяком случае, прецессия волчка не имеет ничего общего с сохранением углового момента. Это связано со странной природой крутящего момента и его взаимодействием с угловым моментом. Когда сила действует на волчок, он создает крутящий момент, перпендикулярный плоскости, определяемой осью волчка и направлением силы тяжести, которая является вертикальной плоскостью. Это направление горизонтальное. С другой стороны, крутящий момент — это скорость изменения углового момента. Это означает, что направление крутящего момента — это направление, в котором изменяется вектор углового момента. Таким образом, поскольку крутящий момент горизонтален и перпендикулярен угловому моменту, он может изменить направление углового момента только вдоль горизонтального направления, а не по направлению к земле. Это означает, что вектор углового момента обращен к земле спиной, в момент, когда вершина волчка касается земли, а его головка совершает круг на плоскости, параллельной земле. Это движение представляет собой прецессию волчка.

Наконец, я думаю, что причина допущения более быстрого вращения волчка, чем прецессия, состоит в том, чтобы упростить вычисления и рассматривать волчок как гироскоп.

когда масса вращается, ее угловой момент указывает направление, перпендикулярное плоскости, в которой она вращается.

Угловой момент должен сохраняться, т.е. должен указывать в плоско-перпендикулярном направлении. Как сказал Седрик, гравитация работает на то, чтобы ось вращающейся массы падала горизонтально на плоскость: если это произойдет, то и угловой момент по отношению к крутящему моменту! а это не удобно с точки зрения энергосбережения..

Тогда вы можете считать, что величина углового момента пропорциональна скорости вращения: так что, чем выше скорость вращения, тем, за неимением лучшего слова, волчку становится «легче» сопротивляться гравитации.

Если вы попытаетесь крутить волчок на наклонной плоскости, вам нужно будет крутить его быстрее, чтобы получить такое же «сопротивление гравитации»!

Быстрый ответ заключается в том, что для того, чтобы волчок упал под действием силы тяжести, каждый фрагмент волчка, движущийся вокруг оси вращения, должен изменить свое индивидуальное направление движения. Они уже меняют направление вокруг оси вращения из-за жесткости волчка, заставляющего их двигаться по кругу. Но гравитация действует под углом 90º к направлению их движения, и ее действие зависит от скорости или инерции фрагмента. Для быстро вращающегося волчка это небольшое изменение направления вызывает прецессию волчка. И по мере того, как он замедляется, гравитация оказывает большее влияние, и он падает. Это похоже на изменение орбиты спутника с боковыми двигателями.

Из вашей связанной статьи :

Вращайте волчок на плоской поверхности, и вы увидите, как его верхний конец медленно вращается вокруг вертикального направления — процесс, называемый прецессией. По мере того как вращение волчка замедляется, вы увидите, что эта прецессия становится все быстрее и быстрее. Затем он начинает раскачиваться вверх и вниз по мере прецессии и, наконец, падает .

На рисунке показан круг вместо спирали из-за исключения таких переменных, как трение и гравитация.

Это хороший пример, который показывает, что понимание не приходит автоматически после завершения расчета. Но расчет по-прежнему служит (возможно, самым) важным ориентиром. Никто из вышеперечисленных не упомянул обсуждение, приведенное в \ittext{Ландау и Лифшиц, Механика (BH, 3-е изд.), стр. 112}. Я думаю, что эти обсуждения уже прояснили этот вопрос. К сожалению, они использовали углы Эйлера. Я переформулировал их обсуждение здесь . Надеюсь, это поможет.