Шатающаяся тарелка Фейнмана

Question

Шатающаяся тарелка Фейнмана

Диракология

Рассмотрим симметричный волчок, т. е. тело, распределение масс которого имеет осевую симметрию (цилиндр, диск, конус и т. д.), свободное от какого-либо внешнего момента. Уравнения Эйлера для этого тела имеют вид

я_{1} {\dot{ю}}_{1} - (я_{1} - я_{3}) ю_{2} ю_{3} "=" 0,

$I_1\dot\omega_1-(I_1-I_3)\omega_2\omega_3=0,$

я_{1} {\dot{ю}}_{2} - (я_{3} - я_{1}) ю_{1} ю_{3} "=" 0,

$I_1\dot\omega_2-(I_3-I_1)\omega_1\omega_3=0,$

я_{3} {\dot{ю}}_{3} "=" 0,

$I_3\dot\omega_3=0,$ где

I_{i}

$I_i$ - главные моменты инерции (моменты инерции вдоль главных осей ) и в силу осевой симметрии

I_{1} = I_{2}

$I_1=I_2$ . Компоненты угловой скорости

\vec{ω}

$\vec \omega$ даны по главным осям.

Третье уравнение дает

ю_{3} "=" с,

$\omega_3=s,$ где

s

$s$ (спин) постоянен. Первые два уравнения можно объединить в простые уравнения гармонического осциллятора, и решение

ю_{1} "=" А потому что (Ом т + дельта), ю_{2} "=" А грех (Ом т + дельта), Ом "=" \frac{я_{3} - я_{1}}{я_{1}} с .

$\omega_1=A\cos(\Omega t+\delta),\quad \omega_2=A\sin(\Omega t+\delta),\quad \Omega=\frac{I_3-I_1}{I_1}s.$

В системе отсчета тела (главные оси) это означает, что вектор угловой скорости имеет постоянную проекцию на главную ось $\rho_3$ а его проекция на плоскость $\rho_1\rho_2$ вращается с угловой скоростью $\Omega$ . Это можно рассматривать как прецессию $\vec\omega$ вокруг оси симметрии тела. Угловой момент равен $\vec L=I\vec\omega$ , так

\vec{л} "=" я_{1} А потому что (Ом т + дельта) {\hat{р}}_{1} + я_{2} А грех (Ом т + дельта) {\hat{р}}_{2} + я_{3} с {\hat{р}}_{3},

$\vec L=I_1A\cos(\Omega t+\delta)\hat\rho_1+I_2A\sin(\Omega t+\delta)\hat\rho_2+I_3s\hat\rho_3,$ Следовательно, он лежит в той же плоскости, что и

{\hat{ρ}}_{1}

$\hat\rho_1$ и

ω

$\omega$ и показывает ту же прецессию, что и последний.

В инерциальной системе отсчета мы видим ось симметрии и $\vec\omega$ прецессии с частотой $\Omega$ вокруг $\vec L$ . Для меня именно эта прецессия видится колебанием ( см. это в 5:26 ).

Если рассматривать однородный диск, $I_3=2I_1$ так $\Omega=s$ . Однако классический результат — колебания частоты. $2s$ . Экспериментальную демонстрацию можно посмотреть здесь на 0:50 . Этот результат можно получить, записав компоненты угловой скорости в терминах углов Эйлера , а затем решив для $\dot\alpha$ . Глядя на углы Эйлера, кажется, что оборот линии узлов (обозначенной буквой N на рисунке ниже) соответствует вихлянию, и оба периода должны быть равны.

Итак, мой вопрос: почему скорость прецессии вектора угловой скорости не дает точно частоту колебания? Другими словами, как происходит прецессия $\vec\omega$ отличается от линии вращения узлов.

Ответы (1)

Шатающаяся тарелка Фейнмана

Диракология · Answer 1

Почему скорость прецессии вектора угловой скорости не дает в точности частоту вихляния? Другими словами, как происходит прецессия $\vec\omega$ отличается от линии вращения узлов?

Краткий ответ: поскольку скорость прецессии $\Omega$ соответствует прецессии $\vec\omega$ в корпусе тела, а не в корпусе Земли. Переменные в уравнениях Эйлера, $I_i$ , $\omega_i$ и $\tau_i$ , находятся в корпусе.

Угловая скорость диска имеет два вклада: составляющая $\vec\omega'$ за счет спина и компоненты $\vec\omega''$ за счет вращения наклонного диска вокруг вертикальной оси. Последнее соответствует колебанию, наблюдаемому кем-то в системе отсчета Земли.

Как видно из рисунка, результирующая угловая скорость $\vec\omega$ всегда вне оси симметрии диска, а значит, имеет ненулевую проекцию на плоскость диска (штриховая линия). При этом оси, закрепленные в плоскости диска, $\rho_1$ и $\rho_2$ вращается со вращением $s$ (просматривается кем-то в кадре Земли). Следовательно, кто-то в кадре диска увидит фиксированные оси и проекцию $\omega$ в этой плоскости, вращающейся со скоростью $s$ . Поэтому скорость прецессии равна спину.

С другой стороны, эффект воблинга возникает из-за неисчезающего $\vec\omega''$ . А $2\pi$ вращение вокруг вертикальной линии соответствует полному колебанию (вилянию), поэтому частота вихляния фактически равна величине $\vec\omega''$ .

Шатающаяся тарелка Фейнмана

Диракология

Ответы (1)

Диракология

При каких условиях справедливо соотношение L⃗ =Iω⃗ L→=Iω→\vec{L} =I \vec{\omega}? [дубликат]

Угловое ускорение в твердых телах

Рассчитайте общий угловой момент прецессии и вращающегося колеса, затем используйте результат для доказательства формулы гироскопической прецессии.

Непостоянная угловая скорость на орбите

Механика вращения: возможно ли угловое ускорение без внешнего крутящего момента?

Как прецессия влияет на угловой момент?

Как объяснить гироскопическую прецессию более интуитивно?

Почему волчки не падают?

Сохранение углового момента - линейная скорость

Влияет ли вырубка деревьев на угловой момент вращения Земли?