Почему закон сохранения энергии дает неверный результат?

Подход, который дал вам правильный ответ, был силовым подходом . Поговорим об энергетическом подходе.

Это консервативная система, поэтому мы можем записать потенциальную энергию$U$как функция результирующей силы, действующей на массу$m$, так:

Или с точки зрения модуля результирующей силы:

Где$x$- расстояние (положительное ниже начального положения) массы$m$от исходного положения (где обе пружины имели длину$d$).

Положение равновесия находится, когда$F = 0$, поэтому$\frac{dU}{dx} = 0$так что нам просто нужно найти$x$так что$U$функция имеет минимум или максимум (в данном случае это будет минимум).

Если мы установим$U_{gravitational} = 0$в начальном положении имеем$U_{gravitational} = -mgx$.

Затем мы можем использовать$U_{elastic} = k(\sqrt{x^2 + d^2} - d^2)$и поэтому

$U = -mgx + k(\sqrt{x^2 + d^2} - d^2)$

Так что все, что вам нужно сделать, это взять производную$\frac{dU}{dx}$и это даст некоторое уравнение с решением$x_{equilibrium}$. Но проблема уже сказала вам, что это$x_{equilibrium} = d$, так что все, что вам нужно сделать, это решить уравнение, которое вы нашли для$k$.

Почему ваш энергетический подход не сработал?

Все просто: потенциальная энергия в обоих случаях совсем не одинакова. Нет причин этому верить. Вот почему, если вы на самом деле выпускаете массу$m$в этом начальном состоянии он достигнет положения равновесия с некоторой кинетической энергией, определяемой разницей между потенциальными энергиями$U_{equilibrium}$и$U_{initial}$. Это просто сохранение энергии. Частица будет колебаться, если выйти из начального состояния.

Вы сделали неверное предположение во втором случае. Если вы сбросите массу из нерастянутого положения, она фактически выйдет за пределы положения равновесия, и возникнут колебания. Энергия на самом деле не сохраняется, если учитывать только гравитацию и силы пружины. Что-то еще должно совершить работу, чтобы забрать энергию из системы, чтобы масса покоилась в равновесии. Следовательно, ваша вторая попытка неверна.

Почему мы получаем два разных результата для двух, казалось бы, правильных подходов к этой проблеме?

Основная причина заключается в том, что закон сохранения энергии не является допустимым методом нахождения положения равновесия. Энергия сохраняется во всех состояниях системы, а не только в равновесии. Таким образом, закон сохранения энергии не определяет ни одно положение однозначно.

Кроме того, для большинства начальных состояний строгое сохранение энергии приведет скорее к колебаниям, чем к равновесию. Переход к равновесию обычно связан с потерей механической энергии системы.

Если бы суммарная энергия обоих состояний была одинаковой, вы могли бы перейти из одного состояния в другое, не совершая никакой работы. Но вы должны приложить усилия и поднять массу, чтобы пройти между двумя состояниями. У них нет одинаковой энергии.

При переходе из нейтрального положения в положение равновесия (сбрасывая вес) масса все еще движется и, следовательно, с КЕ. Этот KE со временем теряется из-за трения.

Я согласен с комментарием Жоао Витора Г. Лимы в том, что вы неправильно использовали аргумент сохранения энергии. Закон сохранения энергии применим к динамическим системам. Предположим, вы начинаете свою массу в состоянии покоя, когда две пружины расположены горизонтально. Гравитация потянет массу вниз и начнется колебательное движение вокруг положения равновесия. Всякий раз, когда масса движется через положение равновесия, она будет иметь кинетическую энергию. Сумма кинетической и потенциальной энергии будет постоянной во времени.

Предположим, что колебание подвержено трению, так что в конце концов оно останавливается в положении равновесия. Тогда у него будет более низкая энергия, чем в начале, потому что энергия была рассеяна трением. Это означает, что потенциальная энергия системы в состоянии с горизонтальными пружинами и поднятой массой обязательно выше, чем потенциальная энергия в положении равновесия.

Система ведет себя по существу как одиночная пружина с присоединенной массой. Здесь то же самое: потенциальная энергия расслабленной пружины с поднятой массой выше, чем у массы в положении равновесия и растянутой пружины.