Подходящее слово для объяснения limx→cf(x)=−∞limx→cf(x)=−∞\lim_{x \to c}f(x)= -\infty

Я преподаю счет. Я преподаю его на английском языке и, возможно, поскольку я не носитель языка, я наткнулся на следующий лингвистический вопрос.

Мы изучали поведение в 0 ф ( Икс ) "=" 1 грех ⁡ ( Икс ) . Мы впервые установили лим Икс → 0 + 1 грех ⁡ ( Икс ) "=" + ∞ . Поскольку некоторые ученики были сбиты с толку, я сказал, что «Поскольку мы делим на все меньшее и меньшее положительное число, мы получаем все большее и большее число». После этого интуитивного объяснения все казались довольными.

Потом мы перешли к изучению лим Икс → 0 − ф ( Икс ) . Студенты поняли, что на этот раз «происходило противоположное», так как мы делили на отрицательные числа.

Вот в чем проблема. Поскольку мы делали что-то вроде «противоположного вкуса», а противоположность большого — маленькому, некоторые ученики предположили, что предел должен быть равен 0.

Я пытался донести до них, что «деление на все меньшее и меньшее отрицательное число дает нам все более и более отрицательное число». Тем не менее, я не очень доволен этой формулировкой, поскольку соблазн думать «маленький» велик, учитывая, что альтернативой является изложение «все более и более негативного».

Вопрос

По вашему опыту, как вы решили эту проблему? Как удобно сформулировать происходящее?

Я думаю, что такие запутанные предложения может быть очень трудно мысленно разобрать, особенно если у вас нет для этого интуиции. Поэтому я думаю, что лучший способ - это 1. написать уравнение и явно поставить в нем большой минус 2. нарисовать картинки. Ваш вопрос, похоже, также касается разных понятий «противоположностей», что, возможно, каким-то образом можно объяснить отражением в разных осях.
@neptun Я согласен, что рисование картинок - это хороший способ, но дело в том, что здесь мы изучали функцию для ее построения. График появляется после изучения пределов.

Ответы (2)

В английской математике слово «маленький» может быть неоднозначным. Оба " − 100 меньше, чем − 2 " и " − 0,001 меньше, чем − 2 " могут быть верными утверждениями. Возможно, если бы вы объяснили своим ученикам, что под "меньше" вы имели в виду "левее на числовой прямой" и что − ∞ — наименьший (в этом смысле) возможный ответ, он прояснил бы ситуацию.

Я думаю, что в случае, когда «меньшее» находится «слева от», я бы назвал это «малостью порядка», а в случае, если оно «ближе к нулю», я бы назвал это «абсолютной малостью».

Я не думаю, что здесь есть действительно супер хорошее решение. Среди математиков, говорящих по-английски, это часто требует уточнения.

Да, эта двусмысленность «маленького» возникает, я полагаю, потому что в нашем раннем математическом опыте с положительными числами работают большие и маленькие. На самом деле мы описываем размер, а не порядок в числовой строке. Говоря о поведении, скажем, кубического графа, мы иногда говорим о том, «когда Икс становится большим и отрицательным» при описании того, почему график становится очень отрицательным, чем дальше влево вы идете по графику.

Если придерживаться терминологии «больше» и «меньше», двусмысленности нет. Зарезервируйте большие и малые значения для абсолютных значений; − ∞ это то, что меньше любого действительного числа, но в большинстве смыслов − ∞ очень очень большой! Когда я преподаю, я разъясняю это и стараюсь быть последовательным в своем собственном использовании.

В соответствии с вашим вопросом, когда вы говорите больше в первом случае, вы действительно говорите все более и более позитивно; если вы проверяли значения одно за другим, следующее число будет больше последнего; противоположность более положительному либо менее положительна, либо более отрицательна, поэтому имеет смысл говорить о том, что другой предел становится все более и более отрицательным.

Подходящее слово для объяснения limx→cf(x)=−∞limx→cf(x)=−∞\lim_{x \to c}f(x)= -\infty
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v