ϵ,δϵ,δ\эпсилон, \дельта... Ну и что?

В ходе учебы я часто встречаю в справочном материале фразы типа "и это избавляет от необходимости использовать ϵ , дельта определения» или «тем самым мы можем опустить эти сложные ϵ , дельта аргументы» и т. д. Другими словами, выполняя трюки, чтобы обойти ϵ , дельта . Я насмотрелся на это достаточно, чтобы подумать, что это следует классифицировать как эпсилондельтофобию , если вы все позволите. Лично я был в восторге от изучения определений в этих терминах, потому что это было одно из первых строгих определений, данных мне, все в терминах кванторной логики, и оно использовалось для очень фундаментальных вещей, реальное значение которых меня всегда интересовало. В начале, конечно, я понятия не имел, как использовать этот язык, но он мне все равно нравился, потому что это было что-то вроде «у-у-у, дип маан». Не говоря уже о том, что позже я начал понимать, что все конструкции более высокого порядка, построенные на ϵ , дельта -объекты проработаны идеально, доставив мне большее удовлетворение, чем кто бы ни придумал ϵ , дельта язык знал, что они делают. Так что я не говорю, что это не нормально развивать эпсилондельтофобию , как все мы естественно поначалу... но учебники (некоторые), кажется, поощряют этот страх, даже некоторые учителя, и это то, что меня не устраивает. о. Я думаю ϵ , дельта отлично.

Вопрос: кто думает так же? наоборот?

Редактировать: я не хочу, чтобы это выглядело как педантичное утверждение «строгость или смерть» или как предложение, чтобы первые курсы по исчислению всегда включали ϵ , дельта (хотя может и да по математике). Я просто против предрасположенности к этому в негативном ключе.

Примеры пожалуйста? Где вы с этим сталкивались?
Джи, ну, я не могу вспомнить конкретные книги, это просто понятие, которое у меня сложилось, когда я пролистал много-много вещей.
хотя бы контекст дайте - учебник по физике? главы исчисления по производным?
Я согласен, что вам нужно привести примеры. Если вы хотите что-то доказать о пределах, вам нужно использовать ε , дельта (или ε , Н для последовательностей)
Ну, я помню, что один из них был в книге о нелинейной оптимизации... а затем куча PDF-файлов на calc-1. Я не говорю, что ϵ , дельта всегда должен быть стандартным в первом курсе исчисления (хотя и позже должен), я просто не понимаю его негативной предрасположенности
Чтобы избежать основанного на мнении мнения, вы, возможно, можете сосредоточить свой вопрос на преимуществах, недостатках и, возможно, альтернативах ϵ , дельта «определения» во вводных (для широкой аудитории?) курсах математики.
@VladimirSotirov Если хотят держать, то пусть, меня это просто огорчает. Я задал вопрос с намерением и работал над ним, чтобы получить именно те хорошо продуманные ответы и контраргументы, которые появлялись до сих пор ... изменить его было бы ложью, как ребенок, которого заставили сказать «извините» и просто говорит, но не чувствует.
Я мог бы предложить некоторые из блогов Терри Тао о нестандартном анализе и «эпсилон-менеджменте» в качестве примеров этого, хотя у него вряд ли есть «фобия» жесткого анализа.
ε и дельта доказательства похожи на языки ассемблера. Если у вас есть команда более высокого уровня для цикла, вы не должны программировать цикл на языке ассемблера, потому что это сложно сделать и трудно понять. Точно так же вы используете определение для доказательства свойств пределов и непрерывных функций, а затем используете эти свойства вместо определения. Это не имеет ничего общего с отсутствием строгости. Можно давать более и менее строгие доказательства со строчными греческими буквами и без них.
@Phira Я полностью понимаю, что вы имеете в виду насчет языка ассемблера, я всегда мысленно провожу одну и ту же аналогию. Но именно в том же духе я и думаю ϵ , дельта изумительна, потому что это "низкоуровневая" структура, которая отлично работает для "высокоуровневых" объектов, которые вы хотели создать позже, и это, как правило, трудно выполнить, учитывая, как кто знает, как меняется на низком уровне влияют на более поздние постройки. И я не это имел в виду ϵ , дельта должен быть единственным способом доказать что-либо, конечно, имеет смысл использовать свойства после того, как они доказаны.
@GPerez Но это нечто большее. Ключевой вопрос состоит в том, чтобы выбрать «правильные» свойства для доказательства. Если вам позже понадобится ε и дельта опять же, это признак того, что вам не хватает соответствующего общего свойства. Это может создать впечатление фобии, но это важная эвристика.
@Phira Конечно, иначе мы бы все использовали ϵ , дельта вычислять интегралы, а этого никто не хочет. Я думаю, что я действительно имею в виду: ϵ , дельта Доказательства — отличное упражнение в доказательствах и логике, они служат введением в такие вещи, и никто не пострадает от их знакомства.

Ответы (5)

Я считаю, что противодействие ϵ , дельта определений (что, к сожалению, приводит к противодействию ϵ , дельта техники ) вполне оправдано, т.к. ϵ , дельта определения возникают из-за (к сожалению, широко распространенного) смешения между утверждением, являющимся формальным , и утверждением, являющимся строгим .

Рассмотрим формальное «определение» непрерывности функции ф в какой-то момент а :

∀ ϵ ∃ дельта ∀ Икс ( 0 < | Икс − а | < дельта → | ф ( Икс ) − ф ( а ) | < ϵ )
Это просто завуалированный способ утверждения неформального, но строгого:

Для каждого мяча Б ф ( а ) в центре ф ( а ) , есть мяч Б а в центре а так что ф отправляет каждую точку Б а в Б ф ( а ) .

что логически эквивалентно концептуально более ясному, хотя и неформальному, но все же строгому:

Всякий раз, когда изображение ф ( С ) набора С отделяется от изображения ф ( а ) точки а , набор С был уже отделен от точки а .

что является противоположностью неформального и строгого интуитивного определения непрерывности ф в какой-то момент а :

Всякий раз, когда набор С точек близки к точке а , набор изображений ф ( С ) из этих точек близки к точке изображения ф ( а ) .

Я твердо верю, что эквивалентность заблокированных утверждений и ИДЕЯ, которую выражает эквивалентность, заключающаяся в том, что мы МОЖЕМ преобразовать интуитивное понятие в строгое определение, гораздо более интересна, важна и запоминаема, чем формальная ϵ , дельта "определение". Более того, я даже не могу заставить себя назвать формальное «определение» определением, поскольку то, что оно выражает, является не описанием того, что значит для функции быть непрерывной, а методом (из ϵ , дельта доказательства) о том, как проверить непрерывность функции.

Это, на мой взгляд, является причиной противодействия ϵ , дельта «определение» и аргументы: вместо того, чтобы выражать строгую идею или понятие непрерывности, ϵ , дельта «определение» лишь дает технику работы с непрерывностью, а когда оно представлено в виде определения, то только затемняет смысл понятия (я мог бы добавить, что это очень эффективный способ, поскольку путь от интуитивного и осмысленного определения к ϵ , дельта определение предполагает противопоставление...).

Наконец, я действительно думаю, что зная, как строго перевести (как выше) от интуитивного определения непрерывности к утверждению ϵ , дельта техника определенно не повредит, и я подозреваю, что она действительно может помочь студентам в использовании ( ϵ , дельта ) техника, особенно с простыми функциями, возникающими в исчислении и базовом анализе.

(Кто-то может раскритиковать приведенное выше высказывание о том, что понятие шара сбивает с толку в исчислении с одной переменной. Мой, возможно, спорный ответ заключается в том, что на самом деле нет веских причин не преподавать исчисление с использованием 2 или 3 переменные из дня 1 и что узкая точка зрения, предлагаемая исчислением с одной переменной, больше затемняет, чем упрощает).

Все в порядке, я имею в виду принятие ϵ , дельта как определение не означает запрет на развитие интуиции о том, что это означает. Лично я всегда делал эту диаграмму (спасибо, geogebra) мысленно всякий раз, когда представлял ее себе. В качестве примечания, что такое «что-то означает», если не определение, которое мы для него выбрали?
Интуиции, а значит и смысл, предшествуют определениям. Именно так устроена математическая практика, и выбор определений отражает либо активное предпочтение одних интуиций, либо самодовольное (непроверенное) принятие других интуиций...
Почему, конечно, я благодушно принимаю эти интуиции, я случайно с ними согласен. И, может быть, у нас в уме есть концепции a priori, но пока вы не определите, что они означают, вы не сможете с ними «делать что-то».
Спасибо Владимир за ответ. Не могу не согласиться. ϵ , дельта являются просто условными обозначениями для экономии усилий при наборе вместо их эквивалентных утверждений на английском языке (или на любом другом языке, на котором обучается студент). Для меня лим Икс → а ф ( Икс ) "=" л означает, что значения ф можно сделать сколь угодно близким к л путем выбора значений Икс достаточно близко к а (но не равно а ). И в последнем утверждении нет ничего нестрогого. Мне ϵ , дельта является признаком формализма, а не строгости.
Пример строгости и ее перевода в формализм находится в этом ответе: math.stackexchange.com/a/562738
Я не уверен, что слова «строгий» и «формальный» — это правильные слова (признаю, что слово «строгий» в математике стало моей любимой мозолью; я больше не уверен, что оно означает) , но Я нахожу настроение этого ответа мертвым. Учебники по математике приближаются к ϵ - дельта определение, подчеркивая формальные алгебраические манипуляции с неравенствами, что кажется особенно жестоким, поскольку любой, кто преподает исчисление, знает, что студенты совершенно не обучены и плохи в этом. Таким образом, основное геометрическое/топологическое значение теряется, несмотря на то, что его было бы легче понять.

Оказывается, инженерам, ученым и финансистам нужно использовать исчисление, но им не нужно понимать исчисление.

Построение типичного университетского образования снабжает всех этих студентов, а также студентов-математиков одними и теми же вводными курсами математического анализа. Это делается из соображений экономической эффективности, а также из-за потенциально ошибочного идеала, согласно которому профессиональные математики должны обучать математике людей, для которых математика в конечном счете является всего лишь раздражающим средством для достижения цели.

Так ускользает ϵ − дельта аргументы упрощают этот процесс, избавляя студентов и преподавателей от проблем за счет студентов-математиков. Но студенты-математики в любом случае столкнутся с этим позже.

Я не говорю, что это лучший подход, но, возможно, он немного более эффективен. Инженеры-механики не хотят учиться ϵ − дельта , а профессора математики не хотят учить ϵ − дельта студентам, которые никогда не будут усекать ряд Тейлора за пределами линейного члена.

Как я говорю своим ученикам: «Если вы этого не понимаете, вам нельзя это использовать».
По существу, математика на самом деле является раздражающим средством для достижения цели для многих людей. Надеюсь, вы согласитесь, что это нежелательно. Я не говорю, что когда-нибудь мы будем жить в волшебном мире, где все представители всех дисциплин также любят математику, но если мы сможем хотя бы перейти к образованию, в котором учащиеся не отвергают и не боятся абстракций и случайных формальных определений, это было бы вполне нормально. Я имею в виду, что без них вы можете в конечном итоге спорить о терминах, которые никогда не были определены, и никто на самом деле не знает, о чем они говорят, и все это просто большая неразбериха.
@GPerez Я не знаю. В принципе оценка абстракции привлекательна для нас как математиков. Но если бы вы были парикмахером, вы бы хотели, чтобы люди ценили искусство и науку ухода за волосами. В конце концов, я просто хочу подстричься, поэтому я плачу профессионалу, который разбирается в этих вещах, чтобы он сделал это за меня. Я ценю то, что они делают, но я никогда не буду ценить это настолько, чтобы изучать это. Так и с математикой тоже.
Это не просто «неуместный идеал», но и практическая необходимость. Поскольку математические факультеты преподают исчисление, а многие (в некоторых школах большинство или даже все) ученики обязаны изучать исчисление , математический факультет становится чрезвычайно важным. Если бы вычисления для инженеров были переданы инженерам, математические факультеты, вероятно, имели бы примерно такой же статус, как и философские факультеты.
@ Райан Райх, что ты имеешь в виду под ростом? Также имейте в виду, что колледжи работают по-разному по всему миру.
@GPerez Я имею в виду важность для администрации.
@Arkamis Возможно, вы правы, но я имел в виду больше в области физики, инженерии, биологии и т. Д. Безусловно, абстракция является фундаментальной для любой науки. Но ждать! В литературе, например, тоже важно! Человек абстрагируется, чтобы проанализировать, что пытается донести книга или рассказ. В музыке я даже не могу начать перечислять способы, которыми абстрагирование от нескольких, казалось бы, разных песен к концепции песни , рассматриваемой как последовательность аккордов, гаммы, которые сопровождают каждый аккорд или тональность, вещи, называемые «ладами» и т. д. Я не думаю, что многих можно спасти от использования абстрактных определений.
Думаю, важно помнить, что исторически ϵ − дельта определение пришло более чем через сто лет после первоначального развития исчисления. Отсюда можно было бы догадаться, что определение не совсем очевидно, хотя постфактум кажется таковым. Некоторые из них также кажутся свидетельством того, что исчисление можно использовать в практических целях без абсолютно строгого по стандартам современной математики фундамента.
@JairTaylor, у вас может быть абсолютно строгий фундамент и бесконечно малые значения.
@ user72694, это правда, я слышал, что вы можете, хотя сам никогда не изучал это. Но я считаю, что современная теория бесконечно малых величин в нестандартном анализе довольно сильно отличается от первоначального нестрогого мышления Ньютона, Лейбница и их коллег.
@JairTaylor, гиперреалы сильно отличаются от различных подходов Ньютона, но есть важные сходства с подходом Лейбница; см. эту статью . Было ли мышление Лейбница «нестрогим» или нет, зависит от того, что именно вы подразумеваете под этим; если вы имеете в виду, что Лейбниц не использовал канторовскую теорию множеств, то вы, безусловно, правы. Если вы имеете в виду, что процедуры Лейбница сильно отличаются от гиперреальных процедур, вы найдете в статье информацию об обратном. Если вы имеете в виду, что подход Лейбница содержал...
... логические противоречия, то, возможно, это постоянная ошибка исчисления историографии; см. статью, указанную выше.
Очень интересно, спасибо за информацию! Полагаю, у меня сложилось впечатление, что большая часть путаницы той эпохи возникла из-за того, что не проводилось четкого различия между определениями и теоремами — например, споры о том, действительно ли мнимые числа и бесконечно малые «существовали» или нет, которые привели к множеству нестрогих рассуждений. рассуждения по современным меркам. Но я мало изучал взгляды Лейбница, так что, возможно, я ошибаюсь.
«Оказывается, инженерам, ученым и финансистам нужно использовать исчисление, но им не нужно понимать исчисление». Ничего себе, какое ясное изложение того, что, по-видимому, неявно является доминирующей позицией в современной педагогике исчисления первокурсников ... и что я нахожу тревожным и пагубным, граничащим с отвращением. Я бы хотел, чтобы мы, преподаватели математики в колледже, могли провести открытое обсуждение, чтобы увидеть, действительно ли мы верим в это и полностью понимаем его последствия.
Два вступительных залпа: (i) Как знакомство с молодежью в реальном мире, так и многочисленные исследования подтверждают гипотезу о том, что почти каждый начинает изучение (например) математики, желая понять все. Трагедия математического образования состоит в том, что мы выбиваем это желание из 99% учащихся настолько систематически и основательно, что к моменту, когда они приступают к математике, у них возникает идентификация на уровне стокгольмского синдрома со своими мучителями. (ii) В современном обществе то, что делает вычисления без концептуального понимания, называется «компьютер», а не «инженер».
@PeteL.Clark Действительно. Я думаю, что это грустно (в лучшем случае) и опасно (в худшем), но мне трудно убедить себя, что это неправда. Как профессиональный инженер, большинство моих современников могут заниматься вычислениями, но не могут проводить эпсилон-дельта-доказательства. И, честно говоря, им это не нужно. Инженерия — это больше, чем вычисления. Инженерия — это суждения, проектирование и принятие решений. Добавление технической строгости не обязательно напрямую улучшает эти вещи. Я бы предпочел, чтобы инженер-химик, который разрабатывает мой шампунь, хорошо понимал риски, правильное смешивание и безопасность.
Тем не менее, инженеры также признают этот недостаток, и хорошие фирмы нанимают математиков (именно так я получил звание «Инженер»). Тем не менее, есть много инженеров с математическими недостатками, которых совершенно не должно быть; Недавно мне пришлось объяснять интеграл Римана-Стилтьеса кому-то, кто называл себя экспертом в теории игр. Это как-то грустно.
@Arkamis: Действительно неясно, сколько требуется обработки эпсилон-дельта, чтобы «понимать исчисление», поэтому немного опасно использовать первое в качестве синекдохи для второго. (В частности, вы говорите, что инженерам не нужно делать ϵ - дельта пруфы: да, согласен.) Когда я преподаю математический анализ, желание хотя бы попытаться изложить материал в интеллектуально связной форме приводит меня к представлению положительного, но очень небольшого (!!) количества ϵ - дельта ... и я делаю это другим и более геометрическим способом, чем учебники по математическому анализу, которые, по-видимому, считают необходимым для «строгости».
Позвольте мне также сказать — если я могу что-то сказать, не желая подкреплять это в этих комментариях, — что меня часто не слишком впечатляло количество «понимания математического анализа», демонстрируемое тем, как написаны учебники по математическому анализу. Много раз то, что учебники по математике на этом уровне называют «строгостью», у меня возникло бы искушение назвать «педантичностью, вызванной ограниченным, хрупким пониманием».
@PeteL.Clark Я согласен со всем этим на 100%. Эпсилон-дельта — это лишь часть понимания, а не полная картина. Тем не менее, я думаю, вы были бы в ужасе, если бы вы выследили некоторых студентов-инженеров, попросили их вычислить производную функции, а затем попросили их объяснить определение производной.
Мне кажется, что для инженера особенно важно уметь оценивать нужный им результат и уметь производить расчеты с нужной степенью точности. «Точный» ответ редко доступен, и для того, чтобы приближение чего-либо стоило, его необходимо контролировать (точность с точностью до 1 килограмма сильно отличается от точности с точностью до одного грамма). Эпсилон-дельта-анализ — это просто обучение тому, как проводить строгий анализ ошибок. Вот бы меня так учили...
Аркамис: Никакого «выслеживания» не потребуется: я преподавал и сейчас преподаю студентов-инженеров (поэтому, к сожалению, не могу не согласиться с вашей оценкой). @Стивен: да, я полностью согласен! Мне потребовалось некоторое время, чтобы понять, что именно в этом и заключается прикладной анализ: контролируемые оценки, а не точные ответы. В прошлом семестре, когда я преподавал математику, я провел несколько лекций по численному интегрированию, тему, которую я полностью пропустил в прошлом.
К сожалению, студенты плохо подготовлены к оцениванию любого рода. Я хорошо помню, как в прошлом семестре я решил стратегически отказаться от любых экзаменационных вопросов по теореме Тейлора с остатком (слишком сложно, я бы проверял степени механического запоминания, а не какого-либо реального понимания) в пользу оценки ошибки чередующихся рядов, который настолько технически прост, что не требуется ничего, кроме понимания основной идеи. Тем не менее, это была сложная тема...
@PeteL.Clark Это обсуждение определенно подчеркивает необходимость диалога о роли математического образования на всех уровнях. Но я чувствую, что многие математики часто увязают в математике, когда возникают такие дискуссии, как будто они чувствуют необходимость оправдать свое существование, навязывая преподавание концепций, которые они считают важными. Я по-прежнему утверждаю, что инженеру или финансовому аналитику не нужно разбираться в исчислении в той степени, в какой это необходимо математику. Тем не менее, обучение этих студентов практическому математическому мышлению имеет большое значение.
И это верно на всех уровнях. Сосредоточьтесь на том, что означают вещи , а не на том, как их делать . Хорошим показателем успеха математической учебной программы было бы устранение вопроса, который в конечном итоге возникает у всех математиков: «Так чем же ты занимаешься ? »
«Я по-прежнему утверждаю, что инженеру или финансовому аналитику не нужно разбираться в исчислении в той степени, в какой это необходимо математику». Хорошо обязательно. Вы вряд ли могли бы стать математиком, не пройдя 5-10 дополнительных занятий, углубляющих ваше понимание различных аспектов исчисления. Я думаю, что исчисление для первокурсников не должно содержать аспектов абстракции или внимания к основополагающим идеям, которые встречаются даже на более поздних курсах бакалавриата. Но некоторая идея о том, что непрерывность означает, что ошибкой на выходе можно сколь угодно хорошо управлять, ограничивая входные данные, кажется важной.
@PeteL.Clark Конечно. Но каково решение? Учебники отстой. Учебные планы в типичной 4-летней программе настолько компактизированы, что не дают никакой свободы для того, чтобы тратить время на изучение материала сверх того, что строго необходимо. Студентам все равно (как и работодателям, что еще хуже, во многих случаях даже аспирантам). Что делать?
@Arkamis: Ну, первый шаг — определить проблему и согласовать ее. А потом... могу я вернуться к вам?
@PeteL.Clark «Когда я преподаю исчисление, желание хотя бы попытаться представить материал интеллектуально связным образом ...» Это резюмирует то, во что я верю, что представление математики без последовательности, например, вещи, выведенные из других, доказательства, это то, что в конечном итоге приводит к отчуждению от самой математики. Когда кто-то способен спросить: «Является ли 1 а + б "=" 1 а + 1 б ?», они явно не усвоили, что означает любая из этих операций, иначе ответ был бы очевиден. Это был ужасный пример, поскольку это происходит на раннем уровне, когда человек впервые изучает математику, но...
... Надеюсь, вы понимаете, о чем я говорю. Мы могли бы утверждать, как это делают некоторые, что (insert_profession) не нужно использовать понимание математики. Ну, это зависит от того, что мы подразумеваем под «использованием»; Один мой друг преподает биологию в магистратуре (где студенты должны быть на уровне концептуальной зрелости) и говорит мне, что он считает невозможным заставить своих студентов понять «эпистемологическую иерархию» идей, т.е. вычитается из других, в каком порядке идут импликации и т. д. Он говорит, что, скорее, материал просто воспринимается как...
... «разрозненные кусочки информации», и поэтому учащиеся придумывают эквивалентные вопросы (по биологии), как в примере двумя комментариями выше. Эти студенты могли или могли бы, безусловно, использовать математическое образование, которое предоставляется толпе чистых математиков. Другими словами, то, что он говорит, это « учись рассуждать, малыш ». Так что я не уверен, что (insert_profession) не должен использовать понимание математики.

Я думаю, что это сложный вопрос; у нас есть как педагогические аспекты, так и «фундаментальные».

Во-первых, с моей точки зрения и предполагая, что я не готов рассуждать о педагогической стороне, я думаю, что в преподавании математики (и не только) не избежать некоторой доли «догматизма». Прошлые неудачи в попытках заранее ввести наивный язык множеств в элементарную арифметику имели большое значение.

Попробуйте на мгновение этот «концептуальный эксперимент»: преподавание в средней школе алгебры и исчисления, начиная с аксиоматизированного Z Ф и создание всех математических вещей «с нуля» (пустой набор). Мы действительно думаем, что это возможно?

Недавняя книга Джона Стилуэлла «Реальные числа . Введение в теорию множеств и анализ » (2013 г.) начинается со следующего соображения:

любая книга, которая пересматривает основы анализа, должна считаться с огромным прецедентом Grundlagen der Analysis («Основы анализа») Эдмунда Ландау 1930 года. [...] так мало книг с 1930 года даже пытались включить построение действительных чисел во введении к анализу. С одной стороны, изложение Ландау является чуть ли не последним словом строгости. [...] С другой стороны, книга Ландау почти патологически недружелюбна к читателю.

Пробовал перечитывать Ландау: очень "недружелюбно"!

Во-вторых, пожалуйста, не забывайте, какие огромные усилия требуются от Ньютона и Лейбница до (по крайней мере) Коши (см. замечательную книгу Джудит Грабинер, «Истоки строгого исчисления Коши», 1981 г.), чтобы «перегонять» строгое исчисление. ( ϵ − дельта ) определение! А также эволюционируют математические стандарты «строгости».

Выше я говорил о "догматизме" (предложение: подумать, как применить к математике соображения Томаса Куна в SSR о "положительной" роли догматизма в "нормальной науке").

Лично я считаю, что лучшим противоядием от (неизбежного) использования догматизма в обучении является историческая перспектива: узнать, как мы пришли к текущим идеям (включая наш текущий стандарт строгости и наши текущие представления об «основах»), может быть очень сложно. полезный.

Что касается «концептуального эксперимента», я думаю, что было бы очень хорошо, если бы определение векторного пространства над полем было каким-то образом введено в средней школе, а элементарные доказательства, такие как λ в "=" 0 ⇔ λ "=" 0  или  в "=" 0 , потому что он относительно прост, но в то же время строг. Я не знаю... Мне просто нравится не говорить о чем-то, пока вы не определите, о чем вы говорите. По логике вещей, необходимо найти баланс, иначе мы все будем читать Ланаду, прежде чем научимся считать.
Еще и про историческую перспективу да да и да. Потому что мы всегда получаем формат: аксиомы → определения → теорем, как если бы это происходило в хронологическом порядке, тогда как реальная диаграмма, вероятно, является самым сложным из ориентированных графов, если бы она была упрощена.

( ϵ , дельта ) методы имеют фундаментальное значение для разработки основ настоящего анализа, но иногда понимание можно получить с помощью альтернативных методов, которые не так легко увидеть с помощью ( ϵ , дельта ) . Рассмотрим, например, отказ функции возведения в квадрат быть равномерно непрерывной. Это довольно утомительное упражнение для мотивации, если вы ограничены ( ϵ , дельта ) методы. Возможно, 90% студентов не смогут воспроизвести такое упражнение, кроме как пассивным способом.

Альтернативной возможностью было бы отметить, что ф ( Икс ) "=" Икс 2 не может быть микронепрерывным в одной бесконечной точке ЧАС и поэтому не является равномерно непрерывным. В этом подходе равномерная непрерывность определяется требованием ф быть микронепрерывным во всех точках (стандартных и нестандартных) своей расширенной гиперреальной области. Таким образом, если рассматривать бесконечно малое α "=" 1 ЧАС , затем ф ( ЧАС + α ) "=" ЧАС 2 + 2 + α 2 и ф ( ЧАС + α ) − ф ( ЧАС ) "=" 2 + α 2 что не бесконечно мало. Таким образом, мы видим, что ф не является микронепрерывным при ЧАС .

Это определение делает очевидным, что равномерная непрерывность в данном случае связана с поведением функции «на бесконечности». Это замечание может быть формализовано в контексте бесконечно малого обогащенного континуума, но не может быть формализовано в контексте реального континуума.

Таким образом ( ϵ , дельта ) подход имеет свои преимущества, но он также имеет серьезные педагогические недостатки.

1) Да, равномерная преемственность убивает. Но характеристики существуют, и они помогают. 2) Что касается педагогики, я не согласен. Спасение людей от абстрагирования не помогает им. Кроме того, когда кто-то, наконец, получает это, в 100% случаев он чувствует себя действительно хорошо. Это хорошо. Мы хотим, чтобы люди хорошо относились к тому, что они изучают. Конечно, возникает вопрос: а что, если они этого не получат? Они будут, в конце концов. Единственная проблема заключается в том, что если вы не сделаете этого вовремя, это приведет к ужасным последствиям, и поэтому мы обратимся к вопросу о том, как устроена вся модель тестирования и оценки, но это другой разговор.
@GPerez, что касается 1): Я точно сформулировал такую ​​"характеристику", как вы выразились, и это помогает. что касается 2): я не уверен, что вы подразумеваете под «абстрагированием». Если вы имеете в виду математическую строгость, то гиперреалы так же строги, как и реалы. Единственные «ужасные последствия», которые я здесь вижу, касаются людей, которые отказываются рассматривать альтернативы.
Я не сомневаюсь, что гиперреалистичные объекты действительны или абстрактны. На самом деле они более абстрактны, чем реальные числа. Но все зависит от того, хотите ли вы дать математическое образование, в котором все конструируется и строится, а на этом пути доказываются шаги? В этом случае в какой-то момент вам нужно будет включить доказательство того, что гиперреальные числа непротиворечивы тогда и только тогда, когда действительные числа непротиворечивы. Я не знаю, сложно это или нет для студентов, но если бы это было не так, то у меня не было бы претензий к тому, что это используется в математическом образовании. Если образование будет даваться без доказательств, ну ладно.
Взяв аргумент нестандартного анализа и удалив некоторые слова и понятия, мы получим более простой стандартный аргумент, доказывающий то же самое тем же способом. Вся работа состоит в том, чтобы определить, какой масштаб изменения ЧАС вызывает заметное изменение ЧАС 2 . В АНБ нет ничего, что указывало бы на выбор α "=" 1 / ЧАС как бесконечно малый, и доказательство не работает с произвольным α . Понимание того, какой выбор работает, исходит из производных, а не из основ, хотя, конечно, если у вас есть рабочий аргумент, его можно записать на любом языке.
@GPerez, если вы говорите об обучении исчислению, вы согласитесь со мной, что не все «построено и построено». А именно, курсы исчисления обычно не строят действительные числа из рациональных чисел, поскольку этот материал больше подходит для более поздних курсов анализа. Что касается доказательства того, что гипердействительные числа непротиворечивы тогда и только тогда, когда действительные числа непротиворечивы, я могу дать вам короткое доказательство, используя не более чем материал серьезного курса алгебры для студентов.
@zyx, я ценю спокойный тон твоего комментария. Какой аргумент проще, основанный на реальных или на гиперреальных, безусловно, можно обсудить. Я бы начал с определения непрерывности по Коши: функция непрерывна в Икс если каждое бесконечно малое приращение α всегда производит бесконечно малое изменение ф ( Икс + α ) − ф ( Икс ) . См. Курс анализа .
@user72694 user72694 Может быть, и нет, но по крайней мере аксиоматически они есть? Первыми двумя вещами, которые я усвоил, были такие вещи, как «для каждой пары различных действительных чисел а , б , или а < б или а > б , и другие подобные свойства. Вскоре в курсе темой были последовательности, и мне показали, что коши ⇒ конвергенция. Возможно, в других школах это кардинально отличается, но согласитесь, это хороший подход?
@GPerez, во-первых, это очень хороший подход. Но в гиперреалистичных числах так же верно, что «для каждой пары различных действительных чисел а , б , или а < б или а > б , и другие подобные свойства », по принципу переноса . Более того, гиперреальные объекты могут быть и были разработаны аналогичным образом аксиоматически.
@ user72694 Тогда этот вопрос становится одним из мнений, я, например, предпочитаю реалы :) Я не могу сказать, почему, может быть, чувство ностальгии по формальной математике 19 века? я правда не знаю
@GPerez, я также в восторге от формальной строгости 19-го века. Но вряд ли можно сказать, что речь идет о мнении, поскольку, вопреки распространенному мнению, гиперреальный каркас задуман не как замена реального каркаса, а скорее как его расширение . Таким образом, все «реальные» методы по-прежнему применимы (по принципу переноса), но есть и новые методы, такие как возможность определения непрерывности как «бесконечно малых г Икс производит бесконечно малые г у ", которых нет в реальном фреймворке. Также смотрите...
... Работы Терри Тао о выразительных преимуществах гиперреалистичных рамок.
«Рассмотрите, например, отказ функции возведения в квадрат быть равномерно непрерывной. Это довольно утомительное занятие, если вы ограничены ( ϵ , дельта ) Методы». Я не согласен с этим. Концепция равномерной непрерывности — одна из самых сложных, представленных в курсах бакалавриата. Но если вы понимаете эту концепцию, этот расчет вряд ли может быть более простым: ( Икс + дельта ) 2 − Икс 2 "=" 2 Икс дельта + дельта 2 не может быть ограничен независимо от Икс из-за Икс дельта срок. Материалы АНБ хороши, но я хочу , чтобы студенты могли делать такой «стандартный» анализ!
@ Пит, по моему опыту преподавания исчисления, с отрицанием стандартных утверждений обычно труднее иметь дело, чем с самими утверждениями. Однажды у меня был ассистент в крупном университете Среднего Запада, который признался мне, что не знает, как доказать с помощью эпсилон, дельта, что функция Хевисайда является прерывистой. Помимо этого, проблема с эпсилон-дельта-определением равномерной непрерывности заключается в том, что оно не дает вам никакого представления о том, что проблема заключается в поведении на бесконечности . Иди попробуй прочесть это тонкое явление с порядком квантификаторов, который отличает его от
...регулярная непрерывность! Затем вы начинаете осознавать кошмар студента.
Михаил: Вы сказали, что это было довольно утомительное занятие . В моем комментарии указывалось, что это не так: расчет является одним из самых простых возможных и, конечно, не более и не менее обременительным, чем ( ЧАС + 1 ЧАС ) 2 − ЧАС 2 "=" 2 + 1 ЧАС 2 . Вы также говорите, что 90 % студентов не смогут выполнить это упражнение. Это не подтверждается моим опытом. Я думаю, вы на самом деле имеете в виду, что этот процент студентов «на самом деле не понимает равномерной непрерывности», что более правдоподобно, хотя и более туманно.
Я хочу сказать: вы хотите продвигать подход АНБ к вычислениям и анализу. У вас есть много хороших математических, педагогических и исторических аргументов в поддержку этого. Но когда вы прибегаете к соломенным аргументам — смотрите, как сложно ϵ - дельта аргументы есть! их никто не понимает, да? -- вы, вероятно, вредите своему делу, так как большинство ваших читателей понимают ϵ - дельта аргументы, в большинстве случаев (и вполне естественно) лучше, чем менее стандартные вещи, которые вы продвигаете. Так что вам нужно позаботиться о том, чтобы не преувеличивать трудности, я думаю.
@ Пит, возможно, мне следовало написать, что это «утомительное упражнение для мотивации», поскольку соответствующие точки уходят в бесконечность. Очевидно, речь идет не просто о формальной проверке выполнения подходящей кванторной формулы. Суть в интерпретации этой формулы и развитии подходящей интуиции для ее понимания. С этим у студентов возникают трудности.
@Pete, вы, вероятно, правы в том, что большинству редакторов SE удобно работать с эпсилон, дельта, но не следует упускать из виду, что подавляющее большинство их студентов не так и никогда не будет, если текущие тенденции сохранятся. Это однозначный вывод всех педагогических исследований этого феномена. Если бы эпсилон, дельта не были образовательным провалом, педагогика была бы менее эффективным аргументом в пользу гиперреального подхода, хотя до сих пор существует аргумент Терри Тао в пользу его более выразительного языка и полезности в исследованиях.
«Очевидно, речь идет не только о формальной проверке...» Это было для меня неочевидно; может быть, это будет очевидно для других. С точки зрения ухода в бесконечность: равномерная непрерывность обычно сначала появляется в контексте того, что непрерывная функция на замкнутом ограниченном интервале обязательно равномерно непрерывна, и приведенное выше упражнение используется в основном для объяснения необходимости этих гипотез. Опять же, я не считаю стандартную историю кошмаром для обучения или мотивации. Я упоминаю об этом потому, что вы, кажется, ожидаете, что ваши читатели будут думать так же.
Между прочим, мне очень нравится подход Терри Тао: он ясно объясняет как стандартный, так и нестандартный анализ, особенно ясно показывает отношения между ними и приводит примеры того, какой тип задач можно предпочесть другому. Он подтверждает это в своих исследованиях, поэтому становится ясно, что SA и NSA очень полезны для него. Я никогда не видел, чтобы он говорил, что у гиперреальных есть «более выразительный язык и полезность в исследованиях»: его позиция гораздо более тонкая.
@ Пит, спасибо за ваш комментарий. Было бы интересно разработать подходящий «вопрос» о ситуации на местах в отношении преподавания эпсилон-дельта на основе полевых исследований в области образования, а не неофициальных данных. «Кошмар» — это громко сказано, но по моему опыту студенты расстраиваются из-за подобных вещей. Похоже, в U Georgia действуют высокие стандарты приема :-)
@ Пит, когда я говорил о Дао о выразительной силе, я думал о комментарии, который здесь цитируется . Возможно, вы можете предоставить дополнительные цитаты. Он не использует корень «экспресс», но смысл явно присутствует.

Определенно есть что-то в замечаниях @Arkamis (если они несколько более актуальны для американской системы), но есть и кое-что, что можно сказать об обратном.

ϵ − дельта язык имеет тенденцию быть чрезмерно техническим; это достаточно просто, чтобы сформулировать для студентов 1-го курса, и достаточно точно, чтобы практиковать строгую математику, но все эти технические детали также могут затемнить суть (а-ля знаменитая аналогия деревьев и леса). Понятия открытых множеств и прообразов функций могут быть несколько более мощными и/или указывать на суть рассматриваемого предложения, тогда как необходимость иметь дело со слишком большим количеством кванторов может быть громоздкой.

Так что, когда вы видите настоящие учебники по математике, использующие кажущиеся сложными конструкции, чтобы не говорить ϵ − дельта языка, я утверждаю, что в большинстве случаев это делается во имя абстрактности, чтобы лучше сформулировать основные понятия или лучше иметь дело с новыми и более общими понятиями, которые автор хочет представить.

Мне пришлось вернуться сюда, когда я столкнулся с этим , пример, когда OP отлично справился с решением проблемы с ϵ − дельта методы, но все еще, казалось, чувствовал себя некомфортно с результатами. На мой взгляд, это именно потому, что этот язык скрывает суть проблемы, причину, по которой все работает именно так. Выполнив упражнение, я полагаю, что OP все еще не зафиксировал бы основное свойство, которое присутствует в случаях, для которых ответ «да», и отсутствует, когда он «нет».

О нет, я ни в коем случае не критикую обобщение этих понятий, поскольку оно становится обязательным, когда больше нет метрической функции.
ϵ,δϵ,δ\эпсилон, \дельта... Ну и что?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v