Развитие математической интуиции

Я студент инженерного факультета, в настоящее время прохожу курс фундаментальной математики.

До сих пор я справлялся достаточно хорошо — в основном пятерки и пара четверок по алгебре, статистике, предварительному исчислению и исчислению I (в настоящее время я довольно сильно борюсь с исчислением II, так что только время (и пот; без крови) или слезы еще) скажет, смогу ли я сохранить свою успеваемость после этого курса.

Однако, несмотря на то, что моя школа хороша и занимает высокие места среди общественных колледжей, это все же общественный колледж. Ни один из курсов не слишком углубляется ни в одну из тем, которые мы освещаем. Все дело в том, чтобы научить нас техникам и методам решения проблем (не особо сложных). Дело не в том, что преподаватели плохие — многие из них неплохие и точно знают свою математику. Но времени на отдельные темы просто нет. Мы рассмотрели все методы интегрирования, которым обучают на этом уровне (за исключением несобственных интегралов), примерно за 2 недели или 8 занятий.

Несмотря на это (или, может быть, потому, что я понял, что большая часть ответственности за изучение всего остального ложится на меня), я действительно развил в себе благоговение и любовь к математике. Недостаточно слишком сменить специальность; У меня все еще есть непреодолимое желание строить роботов. ;)

Но я действительно хочу овладеть предметами математики, с которыми мне приходится сталкиваться, действительно изучить их основательно и на глубоком уровне — не только потому, что чем лучше я это сделаю, тем лучшим инженером я стану (надеюсь), но а также потому, что я действительно поражен тем, насколько крута математика.

Итак, мой вопрос: как я могу развить более развитое математическое мышление и навыки рассуждения, лучшую математическую интуицию?

Ни один из моих классов еще не был основан на доказательствах. Помогут ли мои интуитивные навыки развиваться быстрее, если я начну строить доказательства?

Например, я изучал (и много работал ) бесконечные последовательности и ряды, а также то, как представлять функции в виде рядов мощности, Тейлора и Маклорена.

Я добился некоторого прогресса, но продвигаюсь очень медленно. Когда я смотрю на формулу типа:

п 0 ( Икс ) "=" ∑ н "=" 0 ∞ ( − 1 ) н Икс 2 н 2 2 н н ! 2

или даже более простой, например:

∑ н "=" 1 ∞ ( − 1 ) н 3 н − 1 н !

У меня большие проблемы с тем, чтобы увидеть за мешаниной переменных и констант шаблон, который они описывают. Я хочу достичь точки, в которой я могу видеть матрицу! ;) (тип фильма, а не тип электронной таблицы).

Это, конечно, шутка, а если серьезно, математик может смотреть на матрицу и видеть математическую структуру, а мне приходится очень много думать, а иногда и набрасывать настоящую структуру, чтобы увидеть в матрице нечто большее, чем большую таблицу числа.

Если научиться доказывать теоремы не является ответом (или полным ответом), что вы можете попробовать, чтобы повысить свою способность математически/логически мыслить о концепциях исчисления и математики в целом?

Примеры развивают интуицию. Теоремы нет.
@AJStas Хотя это часто верно, я думаю, что ваше утверждение слишком широкое. Бывают случаи, когда thm делает параллель между чем-то сложным и более простым. Есть также методы, которые проясняют, как некоторые, казалось бы, несопоставимые явления на самом деле являются случаями более общего явления. Я преподаю векторное исчисление прямо сейчас, где есть оба вида. Рассмотрим вариант многомерного цепного правила в терминах умножения производных матриц. Это помогает интуитивно понять, что одномерный расчет — это особый случай. Кроме того, общая версия теоремы Стокса показывает, что FTC, теорема Грина и т. д. на самом деле одинаковы.
@MikeHaskel Я очень сильно это почувствовал, когда узнал о дополнениях.

Ответы (4)

Один из моих учителей всегда говорил мне: «Не знаю определений, не знаю математики». В то время я был довольно раздражен, но он был полностью прав. Единственный способ выучить математику — это выучить основы . Это включает в себя как строгую сторону (запоминание их — хорошее начало), так и интуитивную сторону. Так что на начальном уровне я настоятельно рекомендую потратить много времени на определения. Теоремы хороши и могут помочь вам понять взаимосвязь между определениями. Но что касается интуиции, не погружайтесь в механику теорем слишком рано.

Некоторые большие из исчисления - это предел, ряд Тейлора, интеграл, производная / дифференцируемая, открытая / закрытая, четная / нечетная и непрерывная. Если вы их знаете, вы, вероятно, сможете поговорить с кем-нибудь об исчислении.

Единственный способ развить интуитивное понимание — потерпеть неудачу. Ошибиться — это первый шаг к тому, чтобы не ошибиться полностью. Это значит много пробовать. Тщательно выполняйте домашнее задание. Попробуйте задать уточняющие вопросы. Хорошая учебная программа может помочь сократить количество времени, которое требуется, вам придется набраться терпения, несмотря ни на что. Делай примеры. Делайте сложные примеры. Делайте больше примеров. Делайте встречные примеры. Не соглашайтесь только на «ну, 0 удовлетворяет уравнению, так что, вероятно, все в порядке." Мы все так делали, но это плохая практика.

Вы поймете, что находитесь на правильном пути, когда поймете, почему определение было выбрано именно таким. Это настоящее сердце интуиции для определений. Например, почему коэффициенты ряда Тейлора должны выглядеть именно так? Какие свойства мы вообще хотим от сериала Тейлора? Ну, многочлены круты и просты. Итак, давайте использовать полиномы для аппроксимации вещей. Хорошо... но как мы можем выбрать хорошие приближения? Оказывается, это как-то связано с созданием н й производная имеет правильное значение. Стоит понять, как это работает.

Похоже, вы на правильном пути. Полдела в том, чтобы захотеть это сделать. Другая половина — работа.

Кроме того, этот сайт является хорошим ресурсом. Научиться задавать хорошие вопросы здесь будет очень полезно для вас.

Спасибо! Отличный совет, понятно. Я сожалею, что у меня не было таких проблем на более ранних курсах более низкого уровня, таких как алгебра колледжа. В то время я подумал: «Ну, если я правильно ответил на все вопросы, значит, у меня все в порядке». Я работал над задачами помимо назначенных, но недостаточно. Теперь мне приходится возвращаться к более тщательному обзору тем из этих курсов. Я счастлив делать это сейчас, но было бы намного проще выполнять дополнительную работу, пока я проходил курс. Я использую технику SuperMemo , чтобы помочь. Рекомендую всем, кто пытается запомнить определения.
Спасибо. Надеюсь, вам понравится изучать этот материал! Мне очень понравился этот материал, несмотря на то, что он довольно жесткий. Ряды — это первая по-настоящему нетривиальная часть математики, которую обычно изучают студенты, поэтому это увлекательная задача.
Я знаю, что получу больше удовольствия, как только он щелкнет. Я знаю, что это невероятно важно, что только усиливает давление в моем случае. Я получаю базовые сведения о рядах геометрии, радиусе/интервале сходимости в степенном ряду (я предполагаю, что он называется радиусом в 1D-вычислении, потому что он будет формировать круг в более высоких измерениях) и способах преобразования функций в форму 1 ( 1−x)1(1−x) так, чтобы они соответствовали геометрической схеме. Но я думаю, что упускаю важные части концепции.
Например, если функции могут быть представлены степенными рядами только тогда, когда их можно привести в соответствие с приведенным выше шаблоном, и когда xx ограничен небольшим интервалом, кажется, что группа функций, которую она может представлять, была бы слишком ограничена, чтобы ее можно было представить. очень полезно. Но я знаю, что они не могут иметь ограниченного применения, когда калькуляторы и компьютеры используют их для вычисления значений трансцендентных и более сложных функций. Подобные соображения приводят меня к мысли, что я упускаю существенные части концепций, определяющих степенные ряды, представление функций и их использование в реальном мире.
В любом случае, извините, что написал эссе. ;) Еще раз спасибо за ваши советы и понимание. Между прочим, эти последние три комментария были адресованы Заку Стоуну. Я включил «@ZachStone, @zachstone, @zach-stone» (конечно, не все одновременно), но по какой-то причине StackExchange удалил эти ссылки.

Интуиция и логика — не одно и то же. Возьмем, к примеру, идею о том, что

лим Икс → ∞ 1 Икс "=" 0
Что это значит? Интуитивно можно представить себе график функции и увидеть, что он все ближе и ближе к 0 , но кто сказал, что предел на самом деле не 0,0001 ? Чтобы показать, что это не так, вам нужно формальное определение того, чем на самом деле является предел, и вам нужно логически доказать, что предел этой функции соответствует этому определению. Доказательство может показаться менее интуитивным, чем простое наблюдение за тем, что функция приближается к 0 .

Чтобы развить интуицию, вам нужно научиться визуализировать. Например, в первый раз меня попросили определить, н н или н ! было бы больше, я представлял выражения как

н н "=" н × н × … × н н ! "=" 1 × 2 × … × н
Четко, н н > н ! . Поняв интуитивную часть концепции, вы можете доказать ее, чтобы проверить свою интуицию. Визуализация поможет вам понять ваши доказательства, потому что вы поймете, как с ними работать. Вы можете улучшить свою визуализацию, просматривая графики и диаграммы понятий.

Некоторые математики возражали бы против того, чтобы полагаться на интуицию, а не на логику, поскольку некоторые утверждения, которые на первый взгляд кажутся верными, на самом деле ложны. Но как студенту, не изучающему математику, пытающемуся понять предметы, которые изучались ранее, вам не следует беспокоиться об этом.

Я бы рекомендовал делать всю вашу математику только тогда, когда вы абсолютно уверены, что концепции имеют смысл . Постарайтесь интуитивно понять, о чем говорят ваши книги, и если это не удастся, ищите доказательства. Когда вы найдете доказательство, пройдитесь по каждому шагу и убедитесь, что вы понимаете, почему одно утверждение следует из другого. И, наконец, решение большого количества задач не повредит, потому что это раскрывает вам тонкости идеи. Но не тратьте свое время на решение задач, которые не бросают вам вызов.

Я вижу, что ты говоришь. Полагаю, я видел некоторую разницу между интуицией и логикой, но не смог бы так четко ее сформулировать. Однако я не знаю, что делать с задачами, пока не буду абсолютно уверен в концепциях. Я изо всех сил пытаюсь понять ряды мощности и то, как/почему мы используем их, например, для представления функций. Я понимаю основы, но концептуально это кажется расплывчатым. У меня тревожное ощущение, что я что-то упускаю. Но я воздерживался от решения всех задач, кроме самых основных, до тех пор, пока не достиг лучшего понимания. А теперь я и отстал, и по-прежнему не понимаю.

Вы можете проверить мой ответ здесь .

Спасибо! Я всегда ищу хорошие книги и онлайн-ресурсы, чтобы дополнить мои официальные учебники, которые, к сожалению, не всегда очень хороши.

Зак Стоун и Tommytwoeyes дали отличные ответы. Кроме того, я хотел бы предупредить, что вы не можете одинаково глубоко проникнуть во все области математики, по крайней мере, не занимаясь этим в течение очень длительного периода времени. Это не относится к математике. Вы можете быть либо универсалом (имея неглубокие знания в широком смысле), либо специалистом (имеющим поверхностные знания в широком смысле и глубокие знания в узкой области). Попытка быть специалистом во всем приводит к провалу во всем, потому что у вас ограниченное количество времени в день, и любое время, которое вы тратите на углубление в одну область, отнимает время от чего-то другого. Так что на самом деле вам нужно убедиться, что вы работаете настолько усердно, насколько это необходимо, чтобы хорошо учиться в школе, а затем, если вы хотите пойти глубже, выберите одну или две узкие области за раз, в которые вы действительно хотите погрузиться глубоко.

Развитие математической интуиции
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v